Jedna rovnica o dvoch neznámych, a ešte k tomu v celých číslach. Na prvý pohľad komplikovaná úloha, tak skúsme sa na ňu zatiaľ laicky popozerať. Ľavá strana $a^3 + b^3$ by mala rásť rýchlejšie ako pravá strana $a^2+b^2+42ab$. To preto lebo od nejakého $a_0$ je pre $a>b$ aj $a^3>a^2+42ab$ a od nejakého $b_0$ aj $b^3>b^2$. To by nám malo povedať niečo o konečnom počte riešení. Odskúšať všetky možnosti je však nepraktické. Ďalej sa dá nahliadnuť na to tak, že je to kubická rovnica pre $a$ s parametrom $b$. Lenže pri počítaní diskriminantu tejto kubickej rovnice sa dopracujeme ku problému rátania koreňov polynómu šiesteho stupňa. To znie ako niečo čo nepôjde ľahko. Preto musíme zvoliť iný prístup k úlohe a nesnažiť sa ísť tvrdohlavo týmto smerom.

V takýchto úlohách je vhodné uvažovať súčiny. Ideálne súčiny čo sa majú rovnať prvočíslu. Pokúsme sa nájsť taký súčin. Môžme napríklad skúsiť rozdeliť $a^3+b^3$ na súčin dvoch výrazov, takto: $(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Teraz na ľavej strane by sme radi našli jeden z týchto súčiniteľov. Vidíme, že súčiniteľ $a^2+b^2 - ab$ tam skoro je len si treba požičať extra $-ab$. Takže naša rovnica bude zatiaľ vyzerať takto: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = (a^2-ab+b^2) + 42ab +ab$. Jednoduchou úpravu dostaneme $$(a^2-ab+b^2)(a+b-1) = 43ab.$$ Super, máme prvočíslo, teraz už môžme začať uvažovať.

Keďže sa ideme hrať s prvočíslami, a teda deliteľnosťou, tak sa nám hodí také niečo ako najväčší spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$, budeme ho značiť $NSD(a,b)$. Nech teda $NSD(a,b)=d$ tak vieme vyjadriť naše premenné ako súčin dačo krát $d$. $a=dA$ a $b=dB$. Našu rovnicu teda prepíšeme do tvaru $d^2(A^2-AB+B^2)(dA+dB-1) = 43d^2AB$ a teda $(A^2-AB+B^2)(dA+dB-1) = 43AB$. Ľahko nahliadneme, že $NSD(A^2-AB+B^2,AB)=1$ a teda máme dve možnosti: $$ \begin{aligned} A^2-AB+B^2&=43\text{,} \qquad (1)\ A^2-AB+B^2&=1\text{.} \qquad (2) \end{aligned} $$

Najprv vybavíme rovnicu $(2)$ prepísaním na $(A-B)^2 + AB= 1$, keďže oba členy na ľavo sú nezáporné tak máme jediné riešenie tejto rovnice A=B=1. Teda aj a=b spätným dosadením do pôvodnej rovnice dostaneme $2a^3=2a^2+42a^2$, čo je ekvivalentné s $a^2(a-22)=0$, a teda riešenie je $a=b=22$.

Teraz rovnica $(1)$. $A^2-AB+B^2=43$. Túto rovnicu prepíšeme znovu na tvar $(A-B)^2 + AB = 43$. Ale z toho je jasné, že $(A-B)^2\le 43$ čo vieme prepísať na $|A-B|\le6$. Keďže je pôvodná aj posledná rovnosť sú symetrické, môžeme písať $A=k+B$ kde $k \in {0, 1, 2, \dots, 6}$. Dosadíme a máme kvadratickú rovnicu s parametrom $k$: $A^2 -A(A-k)+(A-k)^2=43$. Teraz ju upravíme na nejaký krajší tvar. $A^2 - Ak + K^2 - 43 = 0$. Aby mala celočíselné riešenie musí byť odmocnina z diskriminantu celá. Na domácu úlohu si rozmyslite prečo. Teda diskriminant samotný je štvorec nezáporného celého čísla. $D=-3k^2+ 4\cdot 43$. Odtiaľto taktiež vidíme obmedzenie $k<7$, lebo diskriminant nemôže byť záporný. Postupným dosadením $k=0,1,2,\dots, 6$ dostaneme postupne takéto hodnoty diskriminantu $172$, $169$, $160$, $145$, $124$, $97$, $64$. Odtiaľ vidíme, že jediné vyhovujúce čísla sú $k=1$ a $k=6$, a teda sa dopočítame k riešeniam pre $k=1$: $A=7$ alebo $A=-6$, odkiaľ ľahko vidíme, že riešenie $A=-6$ nevyhovuje. Pre $k=6$ dostaneme zase tie isté riešenia: $A=7$ a $B=1$. Ďalej z úvahy o symetrickosti vieme, že nie sú riešenia len dvojice $[a,b]$ ale aj $[b,a]$. To ale znamená, že nemáme len riešenie $a=7$ a $b=1$ ale aj $a=1$, $b=7$.

Keďže sme overili všetky možnosti, tak jediné soby čo môžu cválať vedľa seba sú $[22,22], [1,7], [7,1]$.