8. Kružnica Majestátnych Sviečok
Zadanie
Ku správnej štedrej večeri patrí adventný veniec. Najlepšie taký, ktorý má tvar kružnice $k$, na ktorej ležia sviečky v štyroch rôznych bodoch $A$, $B$, $C$, $D$ v tomto poradí. Ďalej polpriamky $AB$ a $DC$ sa pretínajú v bode $M$ a polpriamky $BC$ a $AD$ sa pretínajú v bode $N$. Navyše platí, že $|\sphericalangle BMC|=|\sphericalangle ANM|$ a $|BC|=|CN|$. Prečo je takýto veniec najlepší? Lebo body $M$, $N$ sú rovnako vzdialené od stredu kružnice $k$. Dokážte to!
Hlavná myšlienka, ktorá sa používa pri zisťovaní vzdialenosti bodu od kružnice je mocnosť. Ak majú dva body rovnakú mocnosť ku kružnici, tak sú rovnako vzdialené od jej stredu[^1]. Preto budeme dokazovať, že $|NB| \cdot |NC| = |MA| \cdot |MB|$.
Prvé zistenie je, že trojuholník $BMN$ je rovnostranný so základňou $BM$. Toto sa dalo dokázať napríklad obyčajným vyuhlením, cez podobnosti trojuholníkov a mnoho inými metódami.
Najjednoduchšia sa nám zdala táto: trojuholníky $ADM$ a $AMN$ majú zo zadania rovnaký jeden uhol a pri vrchole $A$ majú druhý rovnaký, preto sú podobné. Potom ale $|\sphericalangle NMA|=| \sphericalangle ADM|$ Vidíme, že štvoruholník $ABCD$ je tetivový, preto majú protiľahlé uhly súčet $180^\circ$ , a teda $|\sphericalangle ADC|=|\sphericalangle MBC|$. Získavame tak $|\sphericalangle NMA|=|\sphericalangle ADM|=|\sphericalangle ADC|=|\sphericalangle MBC|$. Teda trojuholník $BMN$ je rovnoramenný.
Trojuholníky $AMN$ a $CBM$ sú podobné, keďže $|\sphericalangle AMN| = |\sphericalangle CBM|$ z rovnoramennosti, a $|\sphericalangle ANM| = |\sphericalangle CMB|$. Už to skoro ale máme, stačí využiť ich pomery. Platí teda $|CB|/|MB| = |AM|/|NM|$ , resp. $|CB| \cdot |NM|=|AM|\cdot|MB|$.
Použijeme poslednú vec zo zadania, a to rovnosť $|NC|=|CB|$. Z rovnoramennosti platí aj $|NB|=|NM|$. Platí teda $|NC|\cdot|NB| = |CB|\cdot|NM| = |MA|\cdot|MB|$, čo sme chceli dokázať.
*
*
- Ak neviete čo je mocnosť, určite si o nej prečítajte, napríklad v zbierke KMS na strane 37.↩
