Keďže sa jedná o geometrickú úlohu, skúsme začať tým, že si nakreslíme obrázok. Ten náš by mohol vyzerať napríklad nejak takto:

* *

Vidíme, že niektoré uhly sme si už doplnili. V prvom rade nás budú zaujímať uhly $\alpha$, ktoré sme doplnili pri bodoch $C$, $C’$ a $D$. O tom, že tieto uhly majú rovnakú veľkosť sa presvedčíme veľmi jednoducho a síce tak, že všetky sú obvodovými uhlami k úsečke $AB$. Pomocou nich si vieme ľahko dopočítať z pravouhlých trojuholníkov, že $|\sphericalangle SAD|=90^\circ - \alpha = |\sphericalangle CBS|$. Na obrázku ešte vidíme, že uhol $\sphericalangle BAC$ sme si označili $\beta$, pretože ho budeme často používať a zjednoduší nám to prácu.

Ďalej vidíme, že vcelku zaujímavú rolu bude zohrávať os uhla $BAD$. Skúsme si tento uhol preto vyjadriť. Hneď vidíme, aká bude veľkosť tohoto uhla a síce $|\sphericalangle BAD|=90^\circ - \alpha + \beta$. Keďže ho os delí na polovicu, bude platiť: $$|\sphericalangle BAO|=\frac {90^\circ - \alpha + \beta}{2}.$$

Uvedomíme si, že $|\sphericalangle CAO|=|\sphericalangle C’AO|$ (zo zadania z osovej symetrie). Tento uhol vieme teraz jednoducho zistiť ako: $|\sphericalangle CAO|=|\sphericalangle BAO|-|\sphericalangle BAC|$, teda: $$|\sphericalangle CAO|=\frac {90^\circ - \alpha + \beta}{2} - \beta = \frac {90^\circ - \alpha - \beta}{2}.$$ Môžete sa skúsiť zamyslieť, ako by to vyzeralo v prípade, že by sa bod $C$ nachádzal nad osou súmernosti $AO$ (tento podobný prípad ako aj jeho pokračovanie nechávame na čitateľa). Vďaka tomuto všetkému si už vieme ľahko dopočítať aj veľkosť uhla $BAC’$ ako: $$ \begin{aligned} |\sphericalangle BAC’|&=|\sphericalangle BAC|+|\sphericalangle CAO|+|\sphericalangle OAC’|,\ |\sphericalangle BAC’|&=\beta + 2\cdot \frac {90^\circ - \alpha - \beta} {2}=90^\circ - \alpha. \end{aligned} $$ Teraz už vieme veľkosti dvoch uhlov v $\triangle BAC’$ a ľahko si dopočítame, že veľkosť posledného uhla je: $$|\sphericalangle ABC’|=90^\circ.$$ V tomto momente je nám už všetko jasné. Keďže nám vyšiel uhol $ABC’$ pravý, znamená to, že kružnica $r$ je v skutočnosti Tálesovou kružnicou nad úsečkou $AC’$ a teda úsečka $AC’$ musí prechádzať stredom kružnice $r$, čo sme presne chceli dokázať.