Máme ukázať, že platí nerovnosť$$\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{cd}} \ge \frac {2}{(a+b)(c+d)},$$kde $a$, $b$, $c$, $d$ sú kladné reálne čísla, ktoré spĺňajú podmienku $a+b+c+d=1$. Na prvý pohľad môže dôkaz vyzerať zložito, ale my si ukážeme, že sa dá urobiť na pár riadkov a to pomocou nerovnosti aritmetického a geometrického priemeru (AG nerovnosti). AG nerovnosť platí pre kladné reálne čísla a jej všeobecný zápis je $$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}.$$Podľa AG nerovnosti platí $$ \begin{aligned} \frac{a+b}{2}&\ge\sqrt{ab}, \ a+b&\ge 2\sqrt{ab}. \end{aligned} $$ Odtiaľ vyjadríme$$\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge \frac{2}{(a+b)}$$a analogicky $$\frac{1}{\sqrt{cd}}\ge \frac{2}{(c+d)}.$$

Nerovnosti sčítame a upravíme: $$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{cd}}&\ge\frac{2}{(a+b)}+\frac{2}{(c+d)},\ \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{cd}} & \ge\frac{2(a+b)+2(c+d)}{(a+b)(c+d)}, \ \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{cd}} & \ge\frac{2(a+b+c+d)}{(a+b)(c+d)}. \end{aligned} $$ Zo zadania vieme, že $a+b+c+d=1$, a teda dostaneme nerovnosť, ktorú sme mali dokázať.

Na záver si ešte ukážeme, ako by sme danú nerovnosť dokázali aj bez použitia AG nerovnosti. Vieme, že $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge0$, pretože druhá mocnina je vždy kladná alebo nulová. Dostaneme $$\begin{aligned} a-2\sqrt{ab}+b&\ge0, \ a+b&\ge 2\sqrt{ab} \end{aligned}$$a ďalej môžeme pokračovať, ako je ukázané vyššie.