Pri riešení úloh s funkcionálnymi rovnicami je dobrým začiatkom skúsiť dosadiť za premenné konkrétne hodnoty spĺňajúce zadanie a ak sme vybrali správne, dokáže nám to v mnohom pomôcť.

Začnime jednoducho $a = b = c = d = 1$. Dostávame, že $4f^{2}(1) = 4$. Z toho dostávame, že $f(1) = 1$, pretože podľa zadania je $f$ funkcia z kladných čísel do kladných čísel. Teraz skúsime odsadiť $(a, b, c, d) = (1, 1, x, \frac{1}{x})$. Po tomto dosadení dostávame $2f(1) \cdot (f(x)+f(\frac{1}{x}) = 2(x+\frac{1}{x})$, čo môžeme predeliť $2$-kou tak, že máme vzťah $f(x)+f(\frac{1}{x}) = (x+\frac{1}{x})$.

Zaujímať by nás ešte mohlo, čo sa bude diať, keď $x$ a $\frac{1}{x}$ nebudú spolu v zátvorke, skúsme teda $(a, b, c, d) = (1, x, 1, \frac{1}{x})$. Máme $1+f(x) \cdot 1+f(\frac{1}{x}) = (1+x)(1+\frac{1}{x})$, čo nám po roznásobení a odčítaní $1$ dá rovnosť $f(x) + f(\frac{1}{x}) + f(x)f(\frac{1}{x}) = 1 + x + \frac{1}{x}$. Ak sa teraz pozrieme na dve rovnosti, ktoré sme dostali a odčítame ich od seba, dostávame nový vzťah: $f(x)f(\frac{1}{x}) = 1$, teda $f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{f(x)}$. Po dosadení do prvej z nich dostaneme navyše, že $f(x)+\frac{1}{f(x)} = x+\frac{1}{x}$, z čoho po prenásobení $f(x)$ dostávame kvadratickú rovnicu, ktorá má nanajvýš dve riešenia. Zároveň pomerne ľahko vidno, že $f(x)=x$ a $f(x)=\frac{1}{x}$ sú riešenia. Iné teda nebudú.

Ukážme ešte sporom, že neexistujú také $x, y \neq 1$, že $f(x) = x$ a $f(y) = \frac{1}{y}$: Skúsme dosadiť za $(a, b, c, d)$ napríklad $(x, y, \frac{1}{x}, \frac{1}{y})$. Použitím rovností, ktoré sme si už ukázali dostávame rovnosť $(x + \frac{1}{y})(\frac{1}{x} + y) = (x + y)(\frac{1}{x} +\frac{1}{y})$. Po úpravách dostávame $(xy)^{2} + 1 = x^{2} + y^{2}$, z čoho dostávame $(x^{2} - 1)(y^{2} - 1) = 0$. Tomu vyhovuje jedine $x = 1$ alebo $y = 1$. To je ale spor s predpokladom, že sú rôzne od jednotky. Prečo sme si dali taký predpoklad? Zjavne pre $x = 1$ je $x = \frac{1}{x}$, teda v tomto prípade nám rôzny predpis neprekáža. Z tohto všetkého nám vyplýva, že jediné dve možné riešenia sú $f(x)=x$ pre všetky kladné reálne $x$ a $f(x)=\frac1x$ pre všetky kladné reálne $x$.

Na záver ešte treba urobiť skúšku správnosti pre obe riešenia, aby sme zistili, či naozaj vyhovujú. Pre $f(x) = x$ zjavne $(a+b)(c+d) = (a+b)(c+d)$. Pre $f(x) = \frac{1}{x}$ dostávame $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(\frac{1}{c} + \frac{1}{d}) = \frac{(a+b)(c+d)}{abcd}$, keďže ale $abcd = 1$, skúška je hotová.

Jedinými možnými funkciami teda sú: $f(x) = x$ a $f(x) = \frac{1}{x}$.