Najdôležitejší je asi poriadny náčrt. Jeden z pekných obrázkov nájdete tu:

* *

Všimnite si na ňom priesečník $BO$ a kružnice $k$ (nazvime ho $X$). Ak rysujeme presne alebo používame Geogebru, tak vidíme, že leží na kružnici opísanej $PHD$. Poďme to dokázať. Keďže $PHB$ je pravý uhol, tak aj $XHP$ je pravý uhol. Tým pádom $H$ leží na Tálesovej kružnici s priemerom $PX$.

Keďže $X$ leží na priamke $BO$, tak $BX$ je priemer kružnice $k$. Preto $\sphericalangle BDX$ je pravý. Potom ale aj $\sphericalangle PDX$ je pravý. Takže aj bod $D$ leží na Tálesovej kružnici s priemerom $PX$. Preto body $D,\ B,\ H,\ X$ ležia na jednej kružnici s priemerom $PX$. Podľa zadania aj $Q$ leží na tejto kružnici.

Keďže uhlopriečky štvoruholníka $ABCD$ sú na seba kolmé, máme, že $|\sphericalangle CPD| = |\sphericalangle QPD| = 90^\circ$. Preto aj $DQ$ je priemer tejto kružnice. Z toho vyplýva, že aj $\sphericalangle DXQ$ je pravý . Preto je $DXPQ$ obdĺžnik. Z toho zase vyplýva rovnobežnosť $AC$ a $DX$. Tým pádom $ACDX$ je lichobežník. Keďže leží na kružnici, musí byť rovnoramenný. (Z vety o obvodovom uhle majú dva uhly oproti sebe súčet $180^\circ$ a z rovnobežnosti $|\sphericalangle CAD|+ |\sphericalangle ADX| = 180^\circ$. Z toho vyplýva zhodnosť uhlov a teda aj zhodnosť dĺžok strán.) Keďže $|QX|=|PD|$, $|\sphericalangle XCQ|= |\sphericalangle DAP|$ (z rovnoramennosti $ACDX$) a $|\sphericalangle CQX|=90^\circ= |\sphericalangle APD|$, tak máme zhodnosť trojuholníkov $APD$ a $CQX$. Preto $|AP|=|QC|$.