Označme si $|\sphericalangle GSP| = \alpha$ a $|\sphericalangle PSO| = |\sphericalangle GSR| = \phi$. Ďalej si označme stredy strán $SP$ a $SG$ postupne $K$, $L$. Vďaka pravým uhlom $GRS$ a $GIS$ ležia body $S$, $G$, $R$, $I$ na kružnici so stredom v bode $L$. Podobne, body $S$, $P$, $O$, $I$ ležia na kružnici so stredom v bode $K$. Vďaka obvodovým uhlom v týchto kružniciach máme $|\sphericalangle GIR| = |\sphericalangle GSR| = \phi = |\sphericalangle PSO| = |\sphericalangle PIO|$. Z toho vidíme, že priamka $GP$ je osou vonkajšieho uhla $RIO$. Aby sme ukázali, že $MIRO$ je tetivový štvoruholník, stačí nám ukázať, že bod $M$ leží na osi strany $RO$, teda že bod $M$ je antišvrkom prislúchajúcim k bodu $I$ v trojuholníku $RIO$, ktorý leží na kružnici jemu opísanej.¹

Keďže $LM$ je stredná priečka trojuholníka $GPS$, tak $|LM| = |PS|/2 = |KS| = |KI|$. Analogicky tiež získame $|KM| = |GS|/2 = |LS| = |LR|$. Ďalej z vlastností stredných priečok vieme, že $|\sphericalangle GLM| = |\sphericalangle PKM| = \alpha$. Z obvodového a stredového uhla zas máme $|\sphericalangle GLR| = 2\phi = |\sphericalangle PKO|$. Preto aj $|\sphericalangle RLM| = \alpha - 2\phi = |\sphericalangle MKO|$. Dostávame tak, že trojuholníky $RLM$ a $MKO$ sú zhodné podľa vety sus. Preto $|MR| = |MO|$, čo sme chceli dokázať.

Ďalšie riešenia

Skoro každý riešiteľ tejto úlohy mal iné riešenie. Preto sme vybrali hlavné myšlienky tých riešení, ktoré nám pripadali zaujímavé či poučné. V niektorých riešeniach sme vynechali zistenia z prvého odseku riešenia vyššie. Nasledovné riešenia využívajú geometrické zobrazenia. Pokiaľ ich nepoznáte, dočítate sa o nich v seriáli PraSe Geometrická zobrazení.

• Nech $G’ = S_R(G)$ (takto budeme ďalej značiť obraz bodu $G$ v stredovej súmernosti so stredom $R$) a $P’ = S_O(P)$. Trojuholník $SGP’$ sa v otočení so stredom $S$ o uhol $2\phi$ zobrazí na trojuholník $SG’P$. Preto priamky $GP’$ a $G’P$ zvierajú uhol $2\phi$. Potom už len dopočítame, že $|\sphericalangle RMO| = 180^\circ - (|\sphericalangle GMR| + |\sphericalangle PMO|) = 180^\circ - (|\sphericalangle GPG’| + |\sphericalangle PGP’|) = 180^\circ - 2\phi$.

• Definujeme si bod $L$ ako priesečník kružnice opísanej trojuholníku $RIO$ a úsečky $GP$ a ukážeme, že $L \equiv M$.² Rovnoramenné trojuholníky $RLO$ a $SKO$ sú podobné (uu), preto existuje špirálová podobnosť so stredom v bode $O$, ktorá zobrazuje jeden na druhý. Keďže špirálová podobnosť „chodí po dvoch“, tak existuje aj špirálová podobnosť so stredom $O$ zobrazujúca $RS$ na $LK$. Preto $|\sphericalangle LKO| = |\sphericalangle RSO| = \alpha - 2\phi$ a $|\sphericalangle LKP| = |\sphericalangle MKP| = \alpha$.

• Označme $A = S_R(S)$ a $B = S_O(S)$. Rovnoramenné trojuholníky $SGA$ a $BPS$ sú podobné. Body $O$, $M$, $R$ sú stredy spojníc zodpovedajúcich si bodov. Preto vďaka kĺzaniu je s nimi podobný aj trojuholník $OMR$ a $|\sphericalangle RMO| = 180^\circ - 2\phi$.

V úlohe sa dali nájsť aj ďalšie pekné kružnice:

• Na priamkach $SR$ a $SO$ zvoľme postupne body $X$ a $Y$ tak, aby $SR \perp XP$ a $SO \perp YG$. Bod $M$ leží na osiach rovnobežkových pásov $GY$, $PO$ a $GR$, $PX$. Dá sa ukázať, že $M$ je stred kružnice opísanej štvoruholníku $ROXY$. Ide to cez mocnosť bodu $S$ k tejto kružnici alebo vyuhlením $|\sphericalangle RYO| = |\sphericalangle RXO| = 90^\circ - \phi$.

Napokon, ukázať tetivovosť štvoruholníka $MIRO$ bolo možné cez to najpriamočiarejšie kritérium – ukázať, že sa osi jeho strán pretínajú v jednom bode, teda, že existuje bod, ktorý má od všetkých jeho vrcholov rovnako ďaleko. Dajte si však pozor, takýto prístup moc často nefunguje :).

• Bodmi $L$ a $K$ prechádzajú postupne osi úsečiek $IR$ a $IO$, ktoré sa pretínajú v bode $X$. Možno ukázať, že $LKX$ je rovnoramenný trojuholník. Preto bodom $X$ prechádza os úsečky $LK$, ktorá je totožná s osou úsečky $MI$ ($MILK$ je rovnoramenný lichobežník).