Najprv si ukážeme, že $X$ je stred oblúku $BC$ obsahujúceho $A$.Tento bod nazývame $\check{N}_A$, je to takzvaný Antišvrčkov bod v trojuholníku $ABC$. Uvažujme trojuholníky $\check{N}_ADB$ a $\check{N}_AEC$. Strany $\check{N}_AB$ a $\check{N}_AC$ sú rovnako dlhé, a tiež strany $DB$ a $EC$ sú rovnako dlhé. Ďalej z tetivovosti $A\check{N}_ABC$ vieme, že uhly medzi nimi ($\sphericalangle DB\check{N}_A$ a $\sphericalangle EC\check{N}_A$) sú tiež rovnaké. Trojuholníky $EC\check{N}_A$ a $DB\check{N}_A$ sú zhodné, teda aj podobné. To ďalej implikuje podobnosť trojuholníkov $CB\check{N}_A$ a $ED\check{N}_A$, teda nakoľko bol uhol $|\sphericalangle B\check{N}_AC|=\alpha$, je aj $|\sphericalangle D\check{N}_AE|=\alpha$. Potom je ale štvoruholník $A\check{N}_ADE$ tetivový. Teda naozaj platí, že $\check{N}_A$ je priesečník kružníc $ABC$ a $ADE$. Teda $\check{N}_A=X$. Všimnime si, že teraz nám stačí ukázať, že Y leží na osi uhla $BAC$, pretože o bode $X$ je známe, že leží na osi vonkajšieho uhla. ¹

Tak ako na to? Môžeme napríklad uvažovať stredy $Z$ a $W$ kružníc opísaných trojuholníkom $ADC$ a $ABE$. Ideme si ukázať, že ich spojnica je kolmá na os uhla pri vrchole $A$, pretože druhý priesečník je obrazom $A$-čka podľa priamky $ZW$. A to nejak platí. Stačí si nám iba všimnúť, že ak sa pozrieme na rovnobežník tvorený osami úsečiek $AB$, $AD$, $AC$, $AE$, tak kvôli rovnosti $|BD|=|EC|$ tie dvojice rovnobežných priamok budú mať rovnaké vzdialenosti. To ale práve znamená (premyslite si!), že je to kosoštvorec. To ale znamená, že trojuholník $WOZ$ je rovnoramenný, s uhlom $180^\circ-\alpha$ pri vrchole $O$. Z toho plynie, že spojnica $WZ$, ktorá je osou uhla pri vrchole $W$ musí byť kolmá na os uhla $BAC$, pretože ak otočíme ten kosoštvorec o $90^\circ$, tak jeho strany budú práve rovnobežné so stranami $AB$, $AC$, pretože strany kosoštvorca sú osi úsečiek ležiacich na spomínaných priamkach $AB$, $AC$. To ale znamená, že aj otočením osi uhla pri vrchole $W$ dostaneme niečo rovnobežné s osou uhla pri $A$. A práve toto sme chceli ukázať, sme hotoví, $AX$ a $AY$ sú naozaj kolmé.