Prvé riešenie

Budeme chcieť z tejto sústavy rovníc vyjadriť $z$. Najprv vyriešime prípady, keď je jedna z neznámych $x$, $y$ rovná $0$.

$$x=0\Rightarrow y=2,\qquad -yz=1.$$ Táto možnosť zjavne nemá celočíselné riešenie.

$$y=0\Rightarrow x=1,\qquad xz=2 \Rightarrow z=2.$$

Našli sme jedno riešenie a to trojicu čísel $(x,y,z) = (1,0,2)$.

Predpokladajme, že $x$, $y$ sú nenulové, potom nimi môžeme deliť a vyjadríme $z$ z oboch rovníc.

$$z=\frac{x-1}{y},$$ $$z=\frac{2-y}{x}.$$

Dáme do rovnosti pravé strany.

$$\frac{x-1}{y}=\frac{2-y}{x},$$ $$(x-1)x=(2-y)y.$$

Výraz $x(x-1)$ je pre všetky celé čísla nezáporný, pretože ak ani jedno z čísel $x$, $x-1$ nie je nula, tak majú obe rovnaké znamienka (rozmyslieť). Pravá strana poslednej rovnice je nezáporná iba pre hodnoty $y=0,\,1,\,2$. Pre všetky ostatné hodnoty majú čísla $y$, $y-2$ opačné. znamienko. Preto $y$ môže nadobudnúť iba jednu z hodnôt $0$, $1$, $2$. Spätným dosadením do sústavy rovníc nenulových hodnôt pre $y$ ľahko dorátame hodnoty pre $x$ a $z$. Jediné celočíselné riešenie je trojica $$(x,y,z)=(1,2,0).$$

Dokopy teda máme dve trojice $(x,y,z) = (1,0,2)$ a $(x,y,z) = (1,2,0).$

Druhé riešenie:

Z druhej rovnice vyjadríme $y = 2-xz$, a dosadíme do prvej rovnice

$$x-z(2-xz)=1\Rightarrow xz^2-2z+(x-1)=0.$$

Aby táto kvadratická rovnica s parametrom $x$ a premennou $z$ mala riešenie, jej diskriminant musí byť nezáporný, t. j. $$D=4-4\cdot(x-1)x=-4x^2+4x+4 \; \geq0 \; \Rightarrow x^2-x-1 \leq 0$$

Danej nerovnici vyhovujú len $2$ hodnoty $x$ a to $x=0$ a $x=1$ (to sa dá zistiť tak, že ju upravíme na štvorec). Dosadením do pôvodnej sústavy rovníc dostaneme neceločíselné riešenie pre $x=0$ a dve riešenia pre $x=1$, rovnaké ako v prvom riešení.