Riešiť túto úlohu sa dá viacerými spôsobmi. Dokázať, že jednotlivé body ležia na kružnici sa dá viacerými spôsobmi. Môžeme dokázať, že nejaký štvoruholník je obdĺžnik a teda sa mu dá opísať kružnica. (Stred kružnice je priesečník uhlopriečok a polomer je polovica dĺžky uhlopriečky.) Môžeme dokázať, že súčet protiľahlých uhlov v štvoruholníku je $180^\circ$, a teda je to tetivový štvoruholník. Môžeme dokázať, že dva uhly, ktoré sa pozerajú na tú istú úsečku sú zhodné, sú to obvodové uhly nad tou úsečkou a teda ležia tieto štyri body na jednej kružnici. Môžeme nájsť niekde mocnosť bodu ku kružnici. V tomto riešení použijeme všetky vyššie spomenuté postupy. Existujú aj iné postupy, ktoré sú správne. Dá sa aj skromnejší počet týchto dokazovacích zbraní využiť. No poďme na to!

Trojuholník $KMS$ je rovnoramenný a pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole $S$. Z toho vieme, že $|\sphericalangle KMS|=45^\circ$. Úsečka $ME$ je priemer kružnice $m$ (resp. $l$, zadanie sa rozhodlo značiť túto kružnicu oboma spôsobmi. Za vzniknuté komplikácie sa ospravedlňujeme.) Bod $A$ leží na tejto Tálesovej kružnici, preto $|\sphericalangle EAM|=90^\circ$. Nakoľko je bod $A$ v polovici polkružnice $m$, tak trojuholník $EAM$ je rovnoramenný. Preto je $|\sphericalangle AME| = 45^\circ$. Veľkosť uhla $AMS$ vieme dorátať ako $|\sphericalangle AMS|=|\sphericalangle AME|+|\sphericalangle KMS|=45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. Ak ešte dokážeme, že bod $E$ leží na úsečke $RA$, tak dostaneme obdĺžnik $SMAR$. Tento štvoruholník totiž má tri pravé uhly, z čoho už musí byť obdĺžnikom. Z trojuholníka $EMA$ vieme, že $|\sphericalangle MEA| = 45^\circ$. Keďže je trojuholník $KMS$ rovnoramenný, tak výška na základňu je taktiež ťažnica a taktiež osou uhla $KSM$. Z toho vieme, že $|\sphericalangle SEM| = 90^\circ$ a $|\sphericalangle ESM| = 45^\circ$. Úsečka $RE$ je strednou priečkou, čiže je rovnobežná s $SM$. Uhly $RES$ a $ESM$ sú striedavé, teda sú zhodné a ich veľkosť je $45^\circ$. Dopočítame veľkosť uhla $REA$: $|\sphericalangle REA|= |\sphericalangle RES| + |\sphericalangle SEM| + |\sphericalangle MEA| = 45^\circ + 90^\circ + 45^\circ = 180^\circ$. Teda $REA$ je naozaj jedna úsečka a štvoruholník $SMAR$ je obdĺžnik. Vieme už, že body $S$, $R$, $A$, $M$ ležia na kružnici.

Úsečka $RD$ je strednou priečkou v trojuholníku $KES$. Preto platí, že úsečky $RD$ a $SE$ sú rovnobežné. Úsečka $SE$ je kolmá na $KM$, pretože trojuholník $KMS$ je rovnoramenný, teda $SE$ je nielen ťažnicou ale i výškou. Potom je $RD$ kolmá na $KS$, resp. $|\sphericalangle RDM| = 90^\circ$. Vidíme, že súčet protiľahlých uhlov je $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Z čoho vieme, že štvoruholník $SRDM$ je tetivový. Vieme už, že body $S$, $R$, $D$, $A$, $M$ ležia na kružnici.

Pozrime sa teraz na trojuholník $DIE$. Keďže $SE$ je výška v trojuholníku $KMS$, tak $|\sphericalangle SEM| = 90^\circ$. Tento uhol je vrcholový s uhlom $DEI$, z čoho vyplýva $|\sphericalangle DEI| = 90^\circ$. Trojuholník $KES$ je tiež rovnoramenný a pravouhlý, pretože má pravý uhol pri vrchole $E$ a zvyšné dva uhly zhodné s veľkosťou $45^\circ$. Teda $|KE| = |ES|$. Nakoľko bod $T$ je súmerný s bodom $S$ v stredovej súmernosti podľa $E$, tak aj $|TE| = |ES|$. Keď znalosti z posledných dvoch spomenutých rovností spojíme, tak získame, že $|TE| = |KE|$. Keďže body $D$ a $I$ sú stredy úsečiek $KE$ a $TE$, tak aj $|DE| = |IE|$. Trojuholník $DIE$ je rovnoramenný a pravouhlý. Odkiaľ vieme, že $|\sphericalangle DIE| = 45^\circ$. Uhol $DIE$ je taktiež uhlom $DIS$ a uhol $KMS$ je taktiež uhlom $DMS$. Uhly $DIS$ a $DMS$ sú zhodné a oba sa pozerajú na $DS$, teda sú to obvodové uhly. Preto body $S$, $D$, $I$, $M$ ležia na jednej kružnici. Vieme už, že body $S$, $R$, $D$, $I$, $A$, $M$ ležia na kružnici.

Už len bod $C$ nám chýba. Keďže $RD$ je stredná priečka, tak $|RD| = \frac{1}{2} \cdot |SE| = \frac{1}{2} \cdot |KE| = |KD|$. Bod $D$ je stredom kružnice $k$. Body $K$ a $R$ sú rovnako vzdialené od bodu $D$, preto bod $R$ leží na kružnici $k$ (polkružnici $k$ doplnenej na kružnicu). Úsečka $ST$ je dotyčnica k tejto kružnici, pretože $|\sphericalangle DES| = 90^\circ$. Z mocnosti ¹ bodu $T$ ku kružnici $k$ máme $|TC| \cdot |TR| = |TE|^2$. Uhol $EMT$ je vnútorným uhlom rovnoramenného pravouhlého trojuholníka $EMT$. Bod $A$ leží na úsečke $MT$, pretože $|\sphericalangle EMT| = 45^\circ$ aj $|\sphericalangle EMA| = 45^\circ$ (a sú v rovnakej polrovine). Z mocnosti bodu $T$ ku kružnici $m$ máme $|TA| \cdot |TM| = |TE|^2$. Platí, že $|TC| \cdot |TR| = |TA| \cdot |TM|$, preto tieto štyri body musia byť na jednej kružnici (inak by k nim bod $T$ nemal rovnakú mocnosť). Vieme už, že body $S$, $R$, $D$, $C$, $I$, $A$, $M$ ležia na kružnici.

Ak nie si kamarát s mocnosťou bodu ku kružnici, tak máš aj inú možnosť ako plakať do vankúša, že ja ten bod $C$ neviem dokázať. Môžeš spraviť napríklad toto: Najprv dokážeme, že $KSMT$ je štvorec a bod $A$ je v strede $TM$ (dokáž si!). Potom uhly $TRA$ a $ARM$ sú zhodné, pretože trojuholníky $TRA$ a $MRA$ sú zhodné (napr. lebo $|RA|=|RA|, |TA|=|MA|$ a uhol pri $A$ je pravý). Bod $D$ je stredom kružnice $k$, pretože $KE$ je priemer a bod $D$ je v strede $KE$. Už spomínaný uhol $TRA$ je obvodovým uhlom nad oblúkom $CE$, teda je polovičný oproti stredovému uhlu $CDE$. Uvedomme si, že tento uhol $CDE$ je aj uhol $CDM$. Veľkosť uhla $CDM$ je teda $2 \cdot |\sphericalangle TRA|= |\sphericalangle TRA|+|\sphericalangle ARM|=|\sphericalangle CRM|$. Vidíme, že nad oblúkom $CM$ máme dva rovnako veľké uhly ($CDM$ a $CRM$), a teda sú to obvodové uhly a teda body $R$, $D$, $C$, $M$ sú na kružnici. Vieme už, že body $S$, $R$, $D$, $C$, $I$, $A$, $M$ ležia na kružnici.