Najprv rozoberme ak $|AB| = |CD|$. Nech $Y$ je priesečník uhlopriečok $AC$ a $BD$. Potom sú $k_1$ a $k_2$ stredovo súmerné podla bodu $Y$ a teda nutne aj ich body dotykov so stranami $P$ a $Q$. To znamená že $P$, $Q$ a $Y$ ležia na jednej priamke.

Ďalej predpokladáme že $|AB| \neq |CD|$. Nech $X$ je priesečník priamok $AD$ a $BC$. BUNV nech $|AB| > |CD|$, tým pádom $k_1$ je vpísanou kružnicou $\triangle ABX$ a $k_2$ pripísanou $\triangle DCX$ (V opačnom prípade je $k_1$ pripísaná, $k_2$ vpísaná a postup je analogický). Označme $P’$ ako priesečník priamok $XP$ a $CD$. Keďže $AB \parallel CD$ tak sú $\triangle ABX$ a $\triangle DCX$ podobné a teda rovnoľahlé podľa bodu $X$, tak musí byť $P’$ zobrazením bodu $P$ v tejto rovnoľahlosti. To znamená, že $P’$ je bodom dotyku kružnice vpísanej $\triangle DCX$ a podľa známej vlastnosti musí byť stredovo súmerný s bodom $Q$ (bod dotyku kružnice pripísanej) podľa stredu strany $CD$, čiže musí platiť : $$\frac{|DP’|}{|P’C|} = \frac{|QC|}{|DQ|}.$$ Na druhej strane, z rovnoľahlosti $\triangle ABX$ a $\triangle DCX$ dostávame rovnosť : $$\frac{|DP’|}{|P’C|} = \frac{|AP|}{|PB|},$$ a teda musí platiť : $$\frac{|AP|}{|PB|} = \frac{|QC|}{|DQ|}.$$ Rovnako ako predtým, nech $Y$ je priesečník úsečiek $AC$ a $BD$. Trojuholníky $\triangle ABY$ a $\triangle CDY$ sú podobné, keďže nachádzame dva striedavé uhly z rovnobežiek $AB$ a $CD$. Tým pádom sú tieto trojuholníky rovnoľahlé podľa bodu $Y$ a keďže body $P$ a $Q$ delia strany $AB$ a $CD$ v rovnakých pomeroch, musia byť v tomto zobrazení navzájom obrazmi, a teda nutne musia ležať body $P$, $Y$, $Q$ na jednej priamke.