Hľadáme $3$ čísla, ktoré samy o sebe nie sú druhou mocninou, no súčin ľubovolných dvoch z nich už druhou mocninou bude. Pre každú druhú mocninu platí, že má v prvočíselnom rozklade každé prvočíslo párny počet krát (vďaka tomu vychádza odmocnina celé číslo). Na to, aby žiadne z daných čísel nebolo druhou mocninou celého čísla, je potrebné, aby sa v ich prvočíselnom rozklade nachádzalo aspoň jedno prvočíslo nepárny počet krát (potom druhá odmocnina už nebude celé číslo, keďže z tohto konkrétneho prvočísla nemôžeme zobrať polovicu jeho počtu). No pri ich súčine potrebujeme zaistiť párnosť všetkých početností, a preto musíme dodržať aj to, že ak sa už niektoré prvočíslo v niektorom prvočíselnom rozklade nachádza nepárny počet krát, bude sa musieť nepárny počet krát (teda aspoň raz) nachádzať aj v zvyšných prvočíselných rozkladoch (keďže sa nám mocniny sčitujú a chceme mať v súčine vždy párny počet).

Nejaká taká trojica čísel $a$, $b$, $c$ môže vyzerať napríklad takto: $$a = \underbrace{2\cdot 5 \cdot 7}{n} \cdot\, \underbrace{3^2 \cdot 5^2},\qquad b = \underbrace{2\cdot 5 \cdot 7}{n} \cdot\, \underbrace{5^4 \cdot 11^2 \cdot 13^6},\qquad c = \underbrace{2\cdot 5 \cdot 7}{n} \cdot\, \underbrace{1}.$$ Pri tejto trojici čísel sa prvočísla $2$, $5$ a $7$ vyskytujú nepárny počet krát v prvočíselnom rozklade každého z čísel. Súčin týchto prvočísel, ktoré sa vyskytujú v každom čísle nepárny počet krát, si označíme $n$. Keďže sa tieto prvočísla vyskytujú v rozkladoch každého z čísel $a$, $b$, $c$, vieme si ich zapísať ako $a = n \cdot k$, $b = n \cdot l$ a $c = n \cdot m$. Tie prvočísla, ktoré boli v rozklade čísla $a$ v párnej mocnine, prešli v rovnakom počte aj do prvočísleného rozkladu čísla $k$. Z prvočísel, čo boli v rozklade čísla $a$ v nepárnej mocnine, sme jedno ubrali a zvyšok, teda párny počet, išiel do rozkladu čísla $k$. Teda číslo $k$ má vo svojom prvočíselnom rozklade všetky prvočísla v párnej mocnine. Preto je druhou mocninou celého čísla. Z rovnakého dôvodu sú aj čísla $l$, $m$ druhými mocninami celých čísel.

Avšak ďalšou podmienkou v zadaní je, aby súčet $a + b + c$ bol čo najmenší. Poďme sa pozrieť, ako vieme naše čísla $a = n\cdot k$, $b = n \cdot l$ a $c = n \cdot m$ pozmenšovať. Ako sme spomenuli, čísla $a$, $b$, $c$ musia mať aspoň jedno prvočíslo vo svojich rozkladoch v nepárnej mocnine. Keďže najmenším prvočíslom je $2$, tak číslo $n$ musí byť aspoň $2$. Ďalej vieme, že čísla $a$, $b$, $c$ musia byť rôzne. Aby sa tak stalo, tak aj čísla $k$, $l$, $m$ musia byť rôzne. Najmenšími druhými mocninami kladných celých čísel sú $1$, $4$ a $9$. Keď si zvolíme $k = 1$, $l = 4$, $m = 9$ a $n = 2$, dostaneme trojicu čísel $$a = \underbrace{2}{n} \cdot\, \underbrace{1} = 2,\qquad b = \underbrace{2}{n} \cdot\, \underbrace{2^2} = 8,\qquad c = \underbrace{2}{n} \cdot\, \underbrace{3^3} = 18,$$ ktoré nie sú druhými mocnimai celých čísel, ale ich súčiny $ab$, $ac$ a $ca$ sú druhými mocnimai celých čísel. Keďže sme zvolili najmenšie možné čísla $a$, $b$, $c$, tak aj ich súčet je najmenší možný. Sú to teda čísla, ktoré Jožo hľadá.