Pri riešení geometrických úloh je dobré nakresliť si obrázok a uvedomiť si všetky informácie, ktoré máme k dispozícii. Zo zadania vieme, že vzdialenosť každého bodu obvodu malého trojuholníka je vzdialená od veľkého trojuholníka $\sqrt{3}$. V praxi to znamená, že ak spravíme kolmicu, z ktoréhokoľvek bodu malého trojuholníka na najbližšiu stratnu veľkého trojuholníka, tak jej dĺžka bude $\sqrt{3}$. Ďalšia dôležitá vec, ktorú vieme zo zadania, je, že oba trojuholníky sú rovnostranné. Takže ich vnútorné uhly majú veľkosti $60^\circ$, a teda tieto dva trojuholníky sú podobné podľa vety $uuu$. Keďže, vzdialenosť malého trojuholníka od veľkého je na všetky smery rovnaká, nachádza sa presne uprostred veľkého trojuholníka, a teda majú tieto trojuholníky aj spoločné ťažisko (bod, v ktorom sa pretínajú ťažnice, pri rovnostrannom trojuholníku aj výšky). Označme si veľký trojuholník písmenami $ABC$ a malý $DEF$. Dĺžku strany malého trojuholníka označíme písmenom $a$. Urobíme kolmý priemet strany $EF$ malého trojuholníka na stranu $BC$ veľkého trojuholníka, túto úsečku si označíme písmenami $M$ a $N$ a jej dĺžka je rovná $a$. Zvyšné dve časti strany $BC$ veľkého trojuholníka, ktoré nám vznikli, teda úsečky $CM$ a $NB$, majú rovnakú veľkosť, ktorú si označíme $x$.

* *

Teraz si treba uvedomiť, čo chceme vypočítať. Chceme rozdiel dĺžky strany veľkého trojuholníka od dĺžky strany malého trojuholníka. Vidíme, že obe strany obsahujú dĺžku strany $a$, takže po odčítaní sa tieto dĺžky vyrušia a ostane nám len dvakrát dĺžka $x$. A to teraz potrebujeme vypočítať. Ak spravíme výšku na stranu $AB$ z bodu $C$ nášho veľkého trojuholníka, rozdelí sa nám uhol pri vrchole $C$ na polovicu, a teda na dva $30^\circ$ uhly. Platí to vďaka tomu, že trojuholník je rovnostranný. Táto výška prechádza rovnako aj cez vrchol $F$ (vďaka spoločnému ťažisku trojuholníkov). Vznikol nám pravouhlý trojuholník $FMC$, s pravým uhlom pri vrchole $M$ (keďže z vrcholu $F$ sme viedli kolmicu) a s $30^\circ$ uhlom pri vrchole $C$. Rovnako tento postup vieme aplikovať aj na ostatné vrcholy trojuholníka vďaka symetrii. Ukážeme si teraz dva možné postupy výpočtu, prvý čo využíva goniometrické funkcie a druhý s použitím Pytagorovej vety.

Riešenie cez goniometrické funkcie

Keďže máme pravouhlý trojuholník, vieme použiť goniometrické funkcie na výpočet dĺžky $x$. Máme zadanú dĺžku jednej odvesny trojuholníka $FMC$ a potrebujeme zistiť dĺžku druhej odvesny. Takže môžeme využiť goniometrickú funkciu tangens alebo kotangens. Tangens uhla je definovaný ako pomer protiľahlej a priľahlej odvesny. Vezmeme si uhol $FCM$. Protiľahlá odvesna k nemu má dĺžku $\sqrt{3}$ a priľahlá odvesna je naša neznáma $x$. Dostaneme rovnicu:

$$\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{x}.$$

Po úprave:

$$\begin{aligned} x &= \frac{\sqrt{3}}{\tan (30^\circ)},\ x &= 3.\end{aligned}$$

Riešenie cez Pytagorovu vetu

Ak preklopíme trojuholník $FMC$ v osovej súmernosti podľa úsečky $MC$ na opačnú stranu, dostaneme trojuholník, ktorého základňa bude mať dvojnásobok dĺžky strany $FM$, teda dĺžku $2\cdot \sqrt{3}$. Uhol $CFM$, ktorý ma $60^\circ$, sa prenesie rovnako na druhú stranu. V tomto našom vzniknutom trojuholníku majú teda všetky uhly $60^\circ$, takže trojuholník je rovnostranný. Z toho vyplýva, že aj strana $FC$ má dĺžku $2\cdot \sqrt{3}$ rovnako ako základňa. Keďže teraz poznáme dĺžky dvoch strán v pravouhlom trojuholníku $FMC$, pomocou Pytagorovej vety si ľahko dopočítame aj tretiu stranu. Prepona $FC$ má dĺžku $2\cdot \sqrt{3}$ a odvesna $FM$ dĺžku $\sqrt{3}$. Dostaneme rovnicu:

$$\begin{aligned} |MC|^2 &= |FC|^2 - |FM|^2,\ |MC|^2 &= (2\cdot\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2,\ |MC|^2 &= 4\cdot 3 - 3,\ |MC|^2 &= 9,\ |MC| &= 3.\end{aligned}$$

Takže dĺžka časti $x$ je teda $3$ jednotky dĺžky a keďže máme také dve časti na strane tak náš rozdiel bude $2\cdot x$, čo je $6$. Rozdiel dĺžky strany väčšieho trojuholníka od dĺžky strany menšieho trojuholníka je $6$ jednotiek dĺžky.