Uhly trojuholníka $ABC$ budeme značiť $\alpha,\beta,\gamma$, ako zvyčajne.

Najprv si potrebujeme uvedomiť, čo je bod $Q$ vlastne zač. Chceme si ukázať, že je to práve bod prieniku dotyčníc ku kružnici opísanej trojuholníku $ABC$ v bodoch $A$ resp. $C$. (Využijeme veľkosti uhlov $|\sphericalangle AOC|=2 \beta$, $|\sphericalangle OAC|=90^{\circ}-\beta$.) Platí to, pretože $|\sphericalangle CAQ|=|\sphericalangle OAQ|-|\sphericalangle OAC|=90^{\circ}-(90^{\circ}-\beta)=\beta$, teda priamka $AQ$ je naozaj dotyčnica (kvôli vete o úsekovom uhle). Podobne sa toto dá odvodiť aj pre priamku $CQ$. Tým sme naše tvrdenie o bode $Q$ ukázali. Z toho ale vyplýva, že priamka $BQ$ je symediánou z vrcholu $B$ v trojuholníku $ABC$. ¹.

Našou úlohou je teda ukázať, že priesečník priamky $MN$ a $b$-symediány trojuholníka $ABC$ (ktorý budeme ďalej označovať $D$) leží na kružnici $AOC$.

Vieme, že priamka $MN$ prechádza stredom úsečky $AB$, pretože uhlopriečky rovnobežníka majú spoločný stred. Môžeme si ďalej všimnúť podobnosť trojuholníkov $ABC\sim ANB$, pretože $\beta=|\sphericalangle ABC|=|\sphericalangle CAQ| = |\sphericalangle ANB|$, kde tretia rovnosť nastáva kvôli $BN \parallel AQ$. Táto podobnosť nám ďalej dáva $|\sphericalangle DBA|=|\sphericalangle MNB|=|\sphericalangle NMA|=|\sphericalangle DMA$|, kde druhá rovnosť vyplýva zo stredovej symetrie rovnobežníka. Prvá však potrebuje odôvodnenie: $|\sphericalangle DBA|$ je veľkosť uhla medzi $b$-symediánou a stranou $AB$, čo z definície symediány sa rovná uhlu $b$-ťažnice a strany $BC$. Tento uhol sa však v podobnosti prenášajúcej trojuholník $ABC$ na $ANB$ práve prenesie na uhol $MNB$, tým sme platnosť rovností ukázali.

Z týchto rovností vyplýva tetivovosť štvoruholníka $AMBD$. Ďalej vieme, že $\beta=|\sphericalangle ANB|=|\sphericalangle BMA|$, teda kvôli tetivovsti $|\sphericalangle ADB|=180^{\circ}-\beta$ a ďalej $\alpha=|\sphericalangle BAN|=|\sphericalangle ABM|=|\sphericalangle ADM|$, kde druhá rovnosť platí kvôli $AC \parallel BM$, a tretia kvôli tetivovosti. Z týchto rovností dostávame $|\sphericalangle MDB|=|\sphericalangle ADB|-|\sphericalangle ADM|=180^{\circ}-\beta-\alpha=\gamma$, čo ale implikuje $|\sphericalangle BDN|=180^{\circ}-\gamma$, čo nám spolu s $|\sphericalangle BCN|=\gamma$ dáva tetivovosť $BCND$. Z tohto a z hore uvedeného vzťahu $|\sphericalangle ANB|=\beta$ vyplýva $180^{\circ}-\beta=|\sphericalangle BNC|=|\sphericalangle BDC|$. Teda okolo bodu $D$ máme tri uhly $ADB, BDC, CDA$ spĺňajúce $360^{\circ}=|\sphericalangle ADB|+|\sphericalangle BDC|+|\sphericalangle CDA| = 180^{\circ}-\beta+180^{\circ}-\beta +|\sphericalangle CDA|$, z čoho vyplýva $|\sphericalangle CDA|=2\beta =|\sphericalangle COA|$, čo dokazuje tetivovosť štvoruholníka $CADO$, čo sme chceli ukázať.