V tomto vzoráku si spomenieme tri riešenia. Sú síce aj mnohé iné, rovnako správne, ale tieto sme vybrali na ilustráciu rôznych prístupov a rôznej použitej artilérie. Prvé riešenie je veľmi jednoduché, ale trošku pracné, prakticky sa v ňom vyskytne iba veľa a veľa uhlov. Nebudeme v ňom však využívať žiadne vedomosti, ktoré by sa neučili v škole. Druhé riešenie využije trošku pokročilejšie vedomosti, ale zato v ňom nebudú takmer žiadne uhly. No a nakoniec si ukážeme veľmi elegantné riešenie pomocou jednej trošku viac pokročilej techniky.

Všetky riešenia začneme narysovaním si trojuholníka $LO\check{D}$ a rozdelením strán na tretiny.

Cieľ všetkých postupov je rovnaký, dokázať rovnostrannosť trojuholníka $LO\check{D}$. Spokojní teda budeme, keď sa nám podarí dokázať buď priamo to, že všetky jeho strany sú rovnako dlhé, alebo ekvivalentne, všetky jeho (vnútorné) uhly sú rovnako veľké. Keďže zadanie nehovorí o žiadnej zo strán nič iné než o zvyšných dvoch, k spokojnosti nám bude stačiť dôkaz rovnosti len dvoch strán/uhlov, keďže vykonaním adekvátnej cyklickej zámeny dostaneme dôkaz rovnosti iných dvoch, a takéto dva dôkazy dokopy sú dôkazom rovnosti všetkých troch.

Pracnejšie riešenie

Prvé riešenie je o čosi dlhšie a o poznanie menej elegantné než zvyšné dve, ale je priamočiarejšie. Jednoducho vezmeme to, čo nám zadanie jasne hovorí a odvádzame z toho bezprostredné dôsledky.

Označme $\lambda=\left|\sphericalangle \check{D}LO\right|$, $\omega=\left|\sphericalangle LO\check{D}\right|$ a $\delta=\left|\sphericalangle O\check{D}L\right|$. Možno si ľahko všimnúť, že v konštelácii zo zadania jestvuje mnoho trojuholníkov podobných trojuholníku $LO\check{D}$. V tomto postupe využijeme tri z nich, menovite $LTS$, $UOP$, a $SP\check{D}$. Napríklad trojuholník $SP\check{D}$ je podobný s $LO\check{D}$ podľa vety sus, lebo majú spoločný uhol a dve dvojice strán v pomere $2/3$. Ostatné podobnosti sa dokážu analogicky. Vďaka týmto podobnostiam vieme, že $SP\parallel LO$, $\left|\sphericalangle LTS\right|=\omega$, a $\left|\sphericalangle OUP\right|=\lambda$. Z prvej z vedomostí vieme určiť veľkosť (teraz už) striedavých uhlov $\left|\sphericalangle TSP\right|=\left|\sphericalangle LTS\right|=\omega$ a $\left|\sphericalangle UPS\right|=\left|\sphericalangle OUP\right|=\lambda$.

Zatiaľ sme vôbec nevyužili, že body $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$ a $U$ ležia na jednej kružnici. To (napríklad) znamená, že jestvuje bod $W$, pre ktorý platí $\left|SW\right|=\left|TW\right|=\left|UW\right|=\left|PW\right|$. Máme dostatočný morálny kredit na vynesenie súdu o rovnoramennosti trojuholníkov $STW$, $TUW$, $UPW$, $SPW$. Označme $\alpha=\left|\sphericalangle WSP\right|=\left|\sphericalangle SPW\right|$ a $\beta=\left|\sphericalangle UTW\right|=\left|\sphericalangle TUW\right|$. Tým pádom $\left|\sphericalangle PUW\right|=\alpha+\lambda$ a $\left|\sphericalangle STW\right|=\alpha+\omega$.

Z priamosti uhlov pri bodoch $T$ a $U$ dostávame sústavu rovníc: $$\alpha+\beta+2\omega=180^\circ$$ $$\alpha+\beta+2\lambda=180^\circ$$ Z nej vyplýva $\lambda=\omega$, čím sa naša túžba naplnila.

Stručné riešenie

Znova budeme stavať na podobnosti trojuholníkov s trojuholníkom $LO\check{D}$. Los tentoraz padol na dvojicu $RQ\check{D}$ a nadčas ťahajúci $SP\check{D}$. Vieme teda, že $SP\parallel RQ$ a tiež, že $S$, $P$, $Q$, $R$ ležia na jednej kružnici. Obkľúčme to z druhej strany. Máme kružnicu a dve rovnobežky, ktoré ju pretínajú. Z povahy súmernosti týchto útvarov vždy jestvuje zrkadliaca os zobrazujúca kružnicu aj rovnobežky samé na seba, a to konkrétne kolmica na rovnobežky zároveň prechádzajúca stredom kružnice. Spojnica priesečníkov rovnobežiek s kružnicou na jednej strane osi (úsečka $RS$) bude teda rovnako dlhá ako spojnica priesečníkov na druhej strane (úsečka $PQ$). Vrátiac sa späť k našej úlohe možno pobadať, že táto úvaha nám hovorí $\left|L\check{D}\right|/3=\left|SR\right|=\left|PQ\right|=\left|O\check{D}\right|/3$, teda $\left|L\check{D}\right|=\left|O\check{D}\right|$. Zapojac úvahu z úvodu, máme fajront.

Pokročilé riešenie

Na toto riešenie potrebujeme vedieť, čo je to mocnosť bodu $A$ ku kružnici $k$. Vezmime si sečnicu kružnice $k$ prechádzajúcu naším bodom $A$. Nech pretína kružnicu $k$ v bodoch $B$ a $C$. Potom mocnosť $m$ je rovná súčinu vzdialeností bodu $A$ od priesečníkov. Teda $m = |AB|\cdot|AC|$.

Teraz aplikujme novo získanú vedomosť na náš trojuholník. Vezmime si vrchol $L$ a jeho mocnosť ku kružnici $k$ vieme vyjadriť ako $|LS|\cdot|LR|$ a zároveň aj $|LT|\cdot|LU|$. Čo si podľa zadania vieme upraviť na $2|LS|^2=2|LT|^2$, teda zjavne aj $|L\check{D}|=|LO|$.

Rovnakú úvahu aplikujeme aj na vrchol $O$ a dostaneme, že $|LO|=|O\check{D}|$, a teda všetky strany trojuholníka $LO\check{D}$ majú rovnakú dĺžku, teda trojuholník je rovnostranný.