Čísla sú nesúdeliteľné práve vtedy keď ich najväčší spoločný deliteľ je $1$. Keďže prirodzené čísla $a$, $b$, $c$ sú navzájom zameniteľné, všetko, čo má platiť pre jedno z nich, platí obdobne aj pre ostatné, tak si bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že $a \le b \le c$. Medzi číslami $a$, $b$, $c$ môže byť aj rovnosť, hoci len vtedy, ak sú rovné $1$. Podmienky zo zadania si vieme upraviť nasledovne: $$\begin{aligned} a\mid(a+b+c) \Rightarrow a\mid(b+c), \ b\mid(a+b+c) \Rightarrow b\mid(a+c), \ c\mid(a+b+c) \Rightarrow c\mid(a+b).\end{aligned}$$ Pozrieme sa na tretiu podmienku. Keďže $c\mid(a+b)$, tak existuje prirodzené číslo $m$, pre ktoré platí $m = (a+b)/c$, resp. $mc = a+b$. Nakoľko $a \le c$ a súčasne aj $b \le c$, tak spolu $a+b \le 2c$ (rovnosť nastáva len v prípade, že $a = b = c$). Máme dva vzťahy, v ktorých sa vyskytuje $a+b$, teda to môžeme zapísať ako $mc = a+b \le 2c$. Dostávame nerovnosť $mc \le 2c$, z ktorej vyplýva, že $m \le 2$.

Ak $m = 2$, tak $a+b = 2c$, čo platí len v prípade rovnosti čísel $a$, $b$, $c$. Keďže musia byť navzájom nesúdeliteľné, tak jediné možné riešenie je $a = b = c = 1$. Tým získavame prvú usporiadanú trojicu $(1,1,1)$, ktorá vyhovuje všetkým podmienkam.

Pre $m = 1$ platí $a+b = c$. Keď si to dosadíme do druhej podmienky, dostávame $b\mid(a+a+b)$, resp. $b\mid2a$. Toto môžeme interpretovať aj tak, že existuje prirodzené číslo $n$, pre ktoré platí $n = 2a/b$, resp. $nb = 2a$. Vieme, že $a \le b$, teda platí aj $2a \le 2b$. Máme dva vzťahy, v ktorých sa vyskytuje $2a$, čo môžeme zapísať ako $nb = 2a \le 2b$. Dostávame nerovnosť $nb \le 2b$, z ktorej vyplýva, že $n \le 2$.

Nech $n = 2$, potom dostávame vzťah $2a = 2b$, teda $a = b$. Aby bola splnená podmienka nesúdeliteľnosti čísel, tak musí platiť $a = b = 1$. Dosadením do rovnice $a+b = c$ zistíme, že $c = 2$. Týmto sme našli ďalšiu usporiadanú trojicu $(1,1,2)$. Ešte skontrolujeme, či spĺňa všetky podmienky a uvidíme, že to tak naozaj je.

V prípade, že $n = 1$, tak $2a = b$. Potom $c=a+b=a+2a=3a$. Hľadaná trojica je $(a,2a,3a)$. Tieto tri čísla sú nesúdeliteľné len ak $a=1$. Z toho vyplýva, že poslednou usporiadanou trojicou je $(1,2,3)$. Aj táto trojica spĺňa všetky podmienky zo zadania.

Konkrétnu podobu usporiadaných trojíc nám určila nami zvolená podmienka $a \le b \le c$. Teda k riešeniam tejto úlohy patria aj permutácie (preusporiadania) nájdených riešení. Všetky riešenia sú: $(1,1,1), (1,1,2), (1, 2, 1)$, $(2, 1, 1)$, $(1,2,3)$, $(1, 3, 2)$, $(2, 1, 3)$, $(2, 3, 1)$, $(3, 1, 2)$, $(3, 2, 1)$.