Pri funkcionálnych rovniciach je dobré vyskúšať dosadiť si nejaké malé čísla alebo špeciálne prípady. Vie to veľa povedať o správaní sa hľadanej funkcie a jej vlastnostiach.

Špeciálnym prípadom by tu bolo napríklad, že $n$ je prvočíslo (podľa zadania nemôžeme dosadiť $n=1$). Ak $n$ je prvočíslo, delí ho iba jedno prvočíslo $p$, a platí $p=n$. Po dosadení do rovnice máme $$\begin{aligned} f(n)&=f(1) - f(n), \ f(n)&=\frac{f(1)}{2}=c,\end{aligned}$$ kde $c$ je nejaká konštanta, neskôr upresníme aká.

Predpokladajme $$n=p_{1}p_{2} \dots p_{k}\hspace{2pt},$$ pričom $p_{1},p_{2},\dots,p_{k}$ sú (nie nutne rôzne) prvočísla. Nech $p$ je ľubovoľné prvočíslo spĺňajúce $$f(n) = f\left(\frac{n}{p}\right) - f(p).$$ Bez ujmy na všeobecnosti, nech $p = p_{k}.$

Už vieme, že ak $k=1$, $f(n)=f(1) / 2$.

Nech $k=2, n=p_{1}p_{2}$, potom $f(n)=f(p_{1}) - f(p_{2})=c-c=0$.

Nech $k=3, n=p_{1}p_{2}p_{3}$, potom $f(n)=f(p_{1}p_{2}) - f(p_{3})=0 - c=-c$.

Nech $k=4, n=p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}$, potom $f(n)=f(p_{1}p_{2}p_{3}) - f(p_{4})=-c - c=-2c$.

Vyzerá to tak, že funkcia $f$ spĺňa $f(n)=-(k-2)c$. Toto dokážeme indukciou podľa $k$.

Vieme, že pre $k=1$ to platí, nech to platí pre nejaké $k$. Potom nech $n= p_{1} \dots p_{k}p_{k+1}$, s využitím indukčného predpokladu $$f(n)=f(p_{1} \dots p_{k}p_{k+1})=f(p_{1} \dots p_{k}) - f(p_{k+1})=-(k-2)c-c=-(k-3)c,$$ teda tvrdenie platí.

Vieme $$2018=f(13^{2019}) + f(17^{2020}) + f(19^{2021})=-2017c - 2018c - -2019c=-3 \cdot 2018c,$$ a teda $$c=-\frac{1}{3}.$$

Ďalej $2019=3 \cdot 673,\ 2020=2^{2} \cdot 5 \cdot 101,\ 2021=43 \cdot 47$. $$f(2019^{13}) + f(2020^{17}) + f(2021^{19})=-24c - 66c - 36c=-126c=42.$$

Úloha nebola ťažká, väčšina z vás ju vyriešila správne.