Inšpirované skutočnou udalosťou a tiež riešením Lukáša Gáboríka.

Najprv ošetrime jednoduchý prípad, a to že $q=5$. Za tohto predpokladu je riešiaci násobok tohto čísla napríklad $10$. Vidíme, že $q$ nemôže byť rovné dvom ani trom, lebo by to nesedelo s tým, že $q=2p+1$, kde $p$ je prvočíslo.

Teraz serióznejšia matika. Vhodní kandidáti na čísla s ciferným súčtom menším ako 4 sú mocniny desiatky, prípadne súčty niekoľkých mocnín desiatky. Preto nie je zlé sa hrať práve so zvyškami mocniny desiatky po delení $q$. Aplikujme Malú Fermatovu vetu na desiatku a upravíme: $$\begin{aligned} 10^{q-1} \equiv 10^{2p} \equiv 1 \pmod q,\ 10^{2p}-1 \equiv 0 \pmod q,\ (10^{p}-1)(10^{p}+1) \equiv 0 \pmod q.\end{aligned}$$ Keďže $q$ ako prvočíslo delí súčin zátvoriek v poslednej kongruencii, musí deliť aspoň jednu z nich (a môžeme si všimnúť, že dokonca práve jednu z nich). Ak $q \mid 10^p+1$, tak sme vyhrali, lebo použijeme toto číslo ako príklad spomínaného čísla.

Uvažujme teda naopak, že $q \mid 10^p-1$. Z toho ale vyplýva, že rád¹ prvku $10$ modulo $q$ delí prvočíslo $p$ a teda je buď rovný 1, alebo $p$. Ak je rovný 1, potom musí platiť, že $10^1 \equiv 1 \pmod q$, a teda $q=3$, čo je spor. Preto rád $10$ modulo $q$ je presne $p$.

Pozrime sa, aké zvyšky môže nadobúdať $10^x$ modulo $q$, pre $1 \le x \le p$. Zjavne prípad $10^x \equiv 0 \pmod q$ nemôže nastať, pre $q>5$. Ak existuje $x$, že $10^x \equiv 2p \pmod q$, potom $10^x+1$ je príkladom násobku $q$ s požadovaným ciferným súčtom. Ak existuje $x$, že $10^x \equiv p \pmod q$, tak $2 \cdot 10^x+1$ je oným príkladom (stále spĺňa podmienku o cifernom súčte).

V prípade, že ani jedna z predošlých možností nenastáva, musia byť zvyšky mocnín $10^x$ modulo $q$, v množine ${1,2,\dots,p-1,p+1,\dots,2p-1}$. Rozdeliac túto množinu na $p-1$ dvojíc s rovnakým zvyškom po delení $p$ a využijúc fakt, že zvyšky $10^x$ modulo $q$, pre $x \in {1,2,\dots,p}$ musia byť na základe vlastností rádu rôzne čísla, dostávame z Dirichletovho princípu, že aspoň jedna dvojica bude dosahovaná na oboch svojich prvkoch. Nech prislúchajúce mocniny $10$, pre ktoré sa nadobúdajú dané zvyšky sú $k,l$. Potom zjavne $q \mid 10^k+10^l+1$ a zároveň toto číslo zrejme spĺňa podmienky zo zadania.