Pri úlohách s deliteľnosťou sa často oplatí pozerať na prvočíselné delitele. Číslo $17^{2019} \cdot n$ ich už na prvý pohľad nemá práve veľa (len $17$ a delitele $n$), a ešte k tomu číslo $17+2n$ má byť jeho deliteľom. Vezmime si preto nejaké prvočíslo $p$, ktoré delí $17+2n$. Toto prvočíslo musí potom deliť aj $17^{2019} \cdot n$.

Ak má prvočíslo deliť nejaký súčin, musí deliť prvého alebo druhého činiteľa. Ak $p$ delí činiteľa $17^{2019}$, potom nutne $p=17$. Ak naopak $p \mid n$, potom $p \mid (17+2n)-2n=17$, takže opäť $p=17$.

Zistili sme, že jediné prvočíslo, ktoré môže deliť $17+2n$ je 17, takže táto hodnota musí byť nejakou mocninou sedemnástky. Nech teda $17+2n=17^k$ pre nejaké celé $k$. Aby bolo $n$ prirodzené, musí platiť $k \geq 2$. Vyjadrením $n$ a následným dosadením dostaneme

$$n=\frac{17^k-17}{2},$$

$$17^k \mid 17^{2019} \cdot \frac{17^k-17}{2},$$

a keďže delenie dvomi neovplyvňuje deliteľnosť $17$, máme

$$17^k \mid 17^{2019} \cdot \left(17^k-17\right).$$

Táto deliteľnosť bude platiť práve vtedy, keď sa prvočíslo $17$ bude nachádzať v rozklade výrazu $17^{2019} \cdot \left(17^k-17\right)$ aspoň $k$-krát. Keď máme súčin viacerých činiteľov, počet výskytov prvočísla v jeho rozklade bude rovný súčtu týchto počtov pre jednotlivé činitele (prvočísla sa ponásobia dohromady).

Prvý činiteľ ($17^{2019}$) je deliteľný $17$ práve $2019$-krát. Druhý činiteľ ($17^k-17$) je zjavne deliteľný $17$ aspoň raz. Predpokladajme teraz, že by bol deliteľný aspoň dvakrát, teda by platilo $17^2 \mid 17^k-17$. Keďže $k \geq 2$, platí $17^2 \mid 17^k$. Po odčítaní z toho vyplýva, že $17^2 \mid 17$, čo však nemôže nastať.

Dostali sme teda, že bez ohľadu na hodnotu $k$, je náš výraz deliteľný $17$ práve $2020$-krát, takže si môžeme zvoliť ľubovoľné $2 \leq k \leq 2020$ a deliteľnosť bude splnená. Naopak, pre väčšie $k$ splnená nebude. Keďže rôzne $k$ nám dajú rôzne hodnoty $n$, existuje práve $2019$ vyhovujúcich čísel $n$.