Na začiatok sa pokúsme vyťažiť niečo zo zadania. Keď si nakreslíme obrázok, asi ako prvé si poznačíme $|\sphericalangle BAD|=|\sphericalangle CAF|$, keďže $AD$ je os uhla $BAC$. Tiež nám môže udrieť do očí, že $|CD|=|CF|$, z čoho vieme $|\sphericalangle CFD|=|\sphericalangle CDF|$, čo sa vďaka vrcholovým uhlom rovná $|\sphericalangle ADB|$. Takýto obrázok nás navádza k tomu, že trojuholníky $ABD$ a $ACF$ sú podobné.

Keďže zo zadania vieme, že $|AB|=\frac{1}{2}|AC|$, spolu s podobnými trojuholníkmi nás to istým spôsobom vedie k zadefinovaniu stredu strany $AC$, označme ho $S$. Keď ho dokreslíme do obrázka, os uhla $BAC$ nás nabáda k osovej súmernosti podľa tejto osi. Práve vtedy sa bod $B$ zobrazí na $S$. To nás zaujíma hlavne kvôli tomu, že potom $\sphericalangle EBF$ sa zobrazí na $\sphericalangle ESF$, keďže body $E$ a $F$ sú samodružné. Teda namiesto $|\sphericalangle EBF|=|\sphericalangle ECF|$ stačí ukázať $|\sphericalangle ESF|=|\sphericalangle ECF|$, a teda že $4$-uholník $EFCS$ je tetivový.

To sa zvyčajne dokazuje buď pomocou obvodových uhlov, alebo vďaka tomu, že súčet jeho protiľahlých uhlov je $180^\circ$. Keďže už z podobných trojuholníkov $ABD$ a $ACF$ vieme, že platí $|\sphericalangle ABD|=|\sphericalangle SCF|$, chceli by sme ukázať aj rovnosť $|\sphericalangle SCF|=|\sphericalangle AES|$.

Ešte sme nevyužili, že bod $E$ je kolmý priemet bodu $O$ na priamku $AD$. Taktiež bod $O$ je špeciálny tým, že je definovaný ako priesečník osí strán trojuholníka $ABC$. Z toho si môžme všimnúť, že $4$-uholník $AEOS$ je tetivový. Preto si náš hľadaný uhol $AES$ môžme preniesť na uhol $AOS$. Toto je už pomerne bežný a známy uhol, keďže z vety o stredovom a obvodovom uhle platí, že $|\sphericalangle AOC|=2\cdot|\sphericalangle ABC|$, a teda $|\sphericalangle AOS|=|\sphericalangle ABC|$. Z toho máme $|\sphericalangle SCF|=|\sphericalangle ABC|=|\sphericalangle AES|$ a to sme chceli.

Teraz si musíme dať pozor na konfigurácie. Bod $S$ je vždy bližšie k bodu $A$ ako bod $C$, avšak to nemožno povedať o vzájomnej polohe bodov $E$ a $F$. Ak bod $F$ leží na polpriamke $EA$, vieme, že platí $|\sphericalangle FES|=|\sphericalangle SCF|$, a teda vďaka obvodovým uhlom ležia body $F$, $E$, $C$ a $S$ na kružnici (v tomto poradí).

Ak $F$ leží na polpriamke opačnej k polpriamke $EA$, platí $|\sphericalangle FES|=180^\circ-|\sphericalangle AES|=180^\circ-|\sphericalangle SCF|$. Z toho vidíme, že súčet protiľahlých uhlov v $4$-uholníku $SEFC$ je $180^\circ$, a preto je tetivový (body sú na kružnici v poradí $E$, $F$, $C$, $S$). Ak $E=F$, rovnosť uhlov triviálne platí (keďže ich veľkosť je $0^\circ$).

Iné riešenie

Ukážme si, ako inak možno dokázať tetivovosť $4$-uholníka $EFCS$. Znova sme v bode, že chceme ukázať rovnosť uhlov $|\sphericalangle SCF|=|\sphericalangle AES|$. Taktiež už vieme, že $|\sphericalangle SCF|=|\sphericalangle ABC|$. Teda by sme chceli, aby platilo $|\sphericalangle AES|=|\sphericalangle ABC|$.

Môžme si všimnúť, že bod $A$ leží na ramene oboch uhlov. Preto si prenesme uhol $ABC$ po kružnici opísanej trojuholníku $ABC$ tak, aby jedno jeho rameno ležalo na priamke $EA$. Označme si teda bod $G$ taký, že $G$ leží na opísanej kružnici a tiež na priamke $EA$.

V tomto momente chceme dokázať, že $|\sphericalangle AES|=|\sphericalangle AGC|$, kde body $A$, $E$, $G$ ležia na priamke. Vďaka tomu je to ekvivalentné s tvrdením, že priamky $ES$ a $GC$ sú rovnobežné, resp. že úsečka $ES$ je stredná priečka trojuholníka $AGC$. Môžme si premyslieť, že bod $E$ je stred tetivy $AG$ práve preto, že je kolmým priemetom bodu $O$ na priamku $AD$. Preto naozaj platí $|\sphericalangle AES|=|\sphericalangle AGC|=|\sphericalangle ABC|=|\sphericalangle SCF|$.

Samozrejme, existuje ešte mnoho ďalších riešení. Niektoré sú veľmi podobné tým vyššie uvedeným. Niektoré zas využívajú zaujímavé fakty, ako napríklad, že bod $D$ je ťažiskom trojuholníka $ACC’$, kde $C’$ je obraz bodu $C$ v osovej súmernosti podľa priamky $AD$.