1. Kráľovná Milujúca Sedlákov (κ ≤ 1)
Zadanie
Kde bolo, tam bolo, bolo raz jedno Uhorské kráľovstvo. V tomto kráľovstve vládla kráľovná Kika. Kika však nebola iba taká hocijaká kráľovná, ale kráľovná Miest Spálených so zlatým trojuholníkom na čele.
Majme rovnoramenný trojuholník $ABC$, v ktorom $|AB|=|AC|$. Bodom $A$ veďme priamku $p$ rovnobežnú so stranou $BC$. Kružnica so stredom v bode $A$, ktorá prechádza bodom $C$ pretína priamku $p$ v bode $D$ takom, že uhol $CAD$ je ostrý1. Dokážte, že bod $D$ leží na osi uhla $ABC$.
-
Teda ak existujú dva možné body $D$, vezmime ten s ostrým uhlom. ↩
Priamka $DB$ bude osou uhla $CBA$ vtedy, keď veľkosti uhlov $CBD$ a $DBA$ budú rovnaké a polovičné oproti veľkosti uhla $CBA$. My ukážeme, že veľkosť uhla $DBA$ je polovičná oproti veľkosti uhla $CBA$.
Označíme $\alpha = |\sphericalangle BAC|$. Z rovnoramennosti trojuholníka $ABC$ vieme, že $$|\sphericalangle CBA| = |\sphericalangle ACB|= \frac{180^\circ - \alpha}{2}.$$ Nakoľko úsečka $AD$ je rovnobežná s úsečkou $BC$, tak aj $$|\sphericalangle CAD| = \frac{180^{\circ} - \alpha}{2}.$$
Nakoľko bod $D$ je na kružnici s polomerom $|AC|$ a stredom v bode $A$, tak vzdialenosť $|AD|=|AC|=|AB|$. Preto je trojuholník $ABD$ rovnoramenný a vieme vyjadriť veľkosť uhla $ABD$. Ten je $$|\sphericalangle ABD|=\frac{180^\circ-|\sphericalangle BAD|}{2}=\frac{180^{\circ} - \alpha - \frac{180^{\circ} - \alpha}{2}}{2}=\frac{180^{\circ} - \alpha}{4}.$$
Vidíme, že $|\sphericalangle CBA|= 2\cdot |\sphericalangle DBA|$, a preto je skutočne úsečka $BD$ osou uhla $CBA$.
