5. Kováč Mariánosza Spotvoril (κ ≤ 8)
Zadanie
Knieža Mariánosz v deň rytierskeho turnaja po prvý raz v živote zočil kráľovninu nebeskú krásu zosobnenú v jej prenádhernom zlatom trojuholníku a hneď po turnaji sa rozhodol, že musí mať rovnaký. Veď musí byť najkrajší v okolí. Žiaľ, u kováča si neprečítal všeobecné obchodné podmienky a keď prišiel domov, zistil, že na čele nemá zlatý, ale bronzový trojuholník $ABC$.
Na strane $AB$ trojuholníka $ABC$ sú dané body $D$ a $E$ tak, že platí $|AD|=|DE|=|EB|$ a body $A$, $D$, $E$, $B$ ležia na priamke v tomto poradí. Rovnobežka so stranou $AC$, ktorá prechádza bodom $D$ pretína stranu $BC$ v bode $F$. Ďalej nech $M$ je stred strany $BC$. Priamka $EM$ pretína priamku $AC$ v bode $P$. Dokážte, že priamka $AF$ prechádza stredom úsečky $BP$.
Máme dokázať, že stranu $BP$ pretína priamka $AF$ na polovicu. V geometrií majú túto vlastnosť ťažnice trojuholníka. Pokúsime sa teda dokázať, že úsečka $AS$ je ťažnica. Druhá vlastnosť, ktorá nám pomôže je, že ťažnice sa pretínajú v $\frac{2}{3}$ svojej dĺžky od vrchola. Zadefinujme si bod $S$ ako priesečník polpriamky $AF$ a úsečky $BP$.
Zo zadania vieme, že $|AD| = |DE| = |EB| = \frac{1}{3} |AB|$. Keďže robíme rovnobežku so stranou $AC$ cez bod $D$, dostávame dva podobné trojuholníky $\bigtriangleup ABC$ a $\bigtriangleup DBF$ a tiež vieme, že $FC = \frac{1}{3} |BC|$. Teda ak by bol bod $C$ stredom úsečky $AP$ tak úsečka $BC$ by bola ťažnica trojuholníka $\bigtriangleup ABP$ a bod $F$ by bol ťažiskom trojuholníka $\bigtriangleup ABP$ z čoho by vyplývalo, že úsečka $AS$ je ťažnica.
Zadefinujme si bod $G$ ako priesečník polpriamok $DF$ a $EM$. Priamky $EM$ a $CD$ sú rovnobežné, lebo $EM$ je strednou priečkou v trojuholníku $CDB$. Trojuholníky $ADC$ a $DEG$ majú všeky dvojice strán rovnobežné, takže sú podobné. Tiež majú rovnako dlhé podstavy $AD$ a $DE$, takže sú zhodné. Vidíme, že $\bigtriangleup ADC \cong \bigtriangleup DEG \thicksim \bigtriangleup AEP$. Z tohto dostaneme $$\frac{|DE|}{|AE|} = \frac{|DG|}{|AP|} = \frac{|AC|}{|AP|} = \frac{1}{2},$$ z čoho vyplýva, že bod $C$ je stredom úsečky $AP$, a teda úsečka $BC$ je ťažnica trojuholníka $ABP$ a bod $F$ je ťažiskom $\bigtriangleup ABP$.
A keďže úsečka $AS$ vychádza z vrcholu $A$ a prechádza cez ťažisko $F$, tak musí byť ťažnicou trojuholníka $\bigtriangleup ABP$, a teda delí stranu $BP$ na polovicu.
