9. Kompletne Márna Situácia
Zadanie
Vzhľadom na to, že Ákosa s vojskami stále nebolo a Matúšova armáda sa nezadržateľne blížila k Vyšehradu, rozhodla sa kráľovná Kika povolať svojich troch najspoľahlivejších pomocníkov – Kubka, Marianosza a Slava. Tí dostali za úlohu preskúmať blížiacu sa hrozbu z nového uhla a nájsť rozumné východisko z tejto šlamastiky. Žiaľ, nech sa na problém pozerali ako len chceli, výsledok bol vždy rovnaký…
V trojuholníku $ABC$, v ktorom platí $|AB|<|AC|$, označme $D$ priesečník osi vnútorného uhla pri vrchole $A$ a strany $BC$. Nech $P$ je priesečník osi vonkajšieho uhla pri vrchole $A$ a kružnice opísanej trojuholníku $ABC$ rôzny od $A$. Uvažujme kružnicu $k$, ktorá prechádza bodmi $A$ a $P$. Predpokladajme, že $k$ pretína úsečku $BP$ v jej vnútornom bode $E$ a úsečku $CP$ v jej vnútornom bode $F$. Dokážte, že uhly $DEP$ a $DFP$ majú rovnakú veľkosť.
Nazačiatok sa zamyslime, čo za bod je bod $P$. Je to priesečník osi vonkajšieho uhla a opísanej kružnice trojuholníka $ABC$. Tento bod je význačný pre trojuholník. Nazýva sa Antišvrčkov bod a je o ňom známe, že leží presne v strede horného oblúka $BC$ (toho oblúka, ktorý obsahuje bod $A$) na opísanej kružnici. Ak ste o ňom ešte nepočuli, nevadí, teraz si spomínanú vlastnosť dokážeme.
Označme si $X$ nejaký bod na priamke $AB$ taký, že $A$ leží vnútri úsečky $BX$, aby sa nám lepšie popisovali uhly. Priamka $AP$ je os vonkajšieho uhla, čo je inak povedané, že $|\sphericalangle PAX|=|\sphericalangle PAC|$. Nad tetivou $PC$ máme obvodový uhol $PAC$. Nad tetivovou $PB$ máme obvodový uhol $|\sphericalangle PCB|=180 ^\circ-|\sphericalangle PAB|=|\sphericalangle PAX|=|\sphericalangle PAC|$. Nad tetivami $PB$ a $PC$ sú rovnako veľké obvodové uhly, takže $|PB|=|PC|$. Z toho priamo vyplývajú zaujímavé veci, napríklad že trojuholník $PBC$ je rovnoramenný, že dĺžky oblúkov $CP$ a $PB$ sú rovnako veľké, a že bod $P$ leží na ose úsečky $BC$.
Pozrime sa teraz na úlohu z opačnej strany. Aby sme dokázali $|\sphericalangle DEP|=|\sphericalangle DFP|$, stačí nám dokázať rovnosť ich doplnkových uhlov $DEB$ a $DFC$. Všimnime si, že trojuholníky $EBD$ a $FCD$ už majú jednu dvojicu rovnakých uhlov $|\sphericalangle EBD|=|\sphericalangle FCD|$, keďže trojuholník $PBC$ je rovnoramenný. Teda potrebujeme dokázať, že $EBD$ a $FCD$ sú podobné, aby mali rovnaké všetky uhly. Ak majú byť podobné, tak v akom pomere to bude? Predsa v pomere $|BD|:|DC|$. To je presne pomer úsečiek, na ktoré delí priamka $AD$ (čo je os uhla $BAC$) úsečku $BC$. No a to všetci vieme, že os uhla delí protiľahlú stranu v pomere zvyšných dvoch strán trojuholníka. V našom prípade v pomere $$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|AC|}.$$ Chceli by sme ukázať, že aj strany $BE$, $CF$ sú v tomto pomere, aby trojuholníky $DBE$ a $DCF$ boli podobné.
Poďme nájsť nejaké iné podobné trojuholníky, aby sme vedeli vypočítať daný pomer. Keďže $|AB|<|AC|$, bod $A$ leží na opísanej kružnici medzi bodmi $B$, $P$. Dokážeme, že trojuholníky $ABE$ a $ACF$ sú podobné. Platí $|\sphericalangle ABE|=|\sphericalangle ACF|$, lebo ide o obvodové uhly nad tetivou $AP$ na opísanej kružnici. Takisto $|\sphericalangle AEP|=|\sphericalangle AFP|$, lebo sú obvodové na kružnici $k$, takže sa rovnajú aj ich doplnkové uhly $|\sphericalangle AEB|=|\sphericalangle AFC|$. Trojuholníky $ABE$ a $ACF$ majú rovnaké dva uhly, takže sú podobné. Zapíšme pomer podobnosti. $$\frac{|EB|}{|FC|}=\frac{|AB|}{|AC|}$$
Následne sú podobné aj trojuholníky $EBD$ a $FCD$, lebo $|\sphericalangle EBD|=|\sphericalangle FCD|$ a obe dvojice strán sú v rovnakom pomere: $$\frac{|EB|}{|FC|}=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|DC|}.$$
Preto $|\sphericalangle DEB|=|\sphericalangle DFC|$, čo sme chceli dokázať.
