Zoberme si ľubovoľnú hodnotu daného tvaru a nazvime ju $x$. Nasledujúcu hodnotu, ktorá bude mať počet štvoriek o $1$ väčší, získame z pôvodnej ako $x \cdot 10 + 13$.

Našu hodnotu si môžeme vždy rozpísať ako $13a + b$, kde $a$ a $b$ sú nezáporné celé čísla a $b < 13$. Nasledujúca hodnota bude potom $(13a + b) \cdot 10 + 13 = 13 \cdot (10a + 1) + 10b$.

Číslo $13 \cdot (10a + 1)$ je určite deliteľné číslom $13$, teda deliteľnosť nasledujúcej hodnoty číslom $13$ ovplyvní iba zvyšok čísla $10b$ po delení číslom $13$. Môžeme si však všimnúť, že číslo $10b$ je deliteľné číslom $13$ práve vtedy, keď ním je deliteľné $b$. Keďže $b$ je zvyšok pôvodnej hodnoty po delení číslom $13$, tak aj nasledujúca hodnota bude deliteľná číslom $13$ práve vtedy, keď je ním deliteľná pôvodná hodnota.

Keďže ale hneď prvá možná hodnota, čo je $43$, nie je deliteľná číslom $13$, tak ním nebude deliteľná ani žiadna ďalšia hodnota. Preto neexistuje žiadne také $n$, pre ktoré by hodnota daného tvaru bola deliteľná číslom $13$ bezo zvyšku.