K tejto úlohe máme videonávod.

Skôr než sa pustíme do vytrvalého počítania uhlov a iných vecí, je dobré sa zamyslieť, ako náš štvoruholník $ABCD$ môže vyzerať. Ak skúsime nakresliť obrázok, v ktorom by všetko zo zadania platilo, tak sa nám to pri všeobecnom štvoruholníku nepodarí. Rovnosti zo zadania by isto platili, ak by štvoruholník $ABCD$ bol štvorec. Tak sa vyberme tým smerom a poďme zisťovať k tomu potrebné vlastnosti štvoruholníka $ABCD$.

Strany AB a CD sú rovnobežné

Najprv ukážme, že strany $AB$ a $CD$ sú rovnobežné. Vezmime si trojuholník $ABM$. Vieme, že strany $AM$ a $BM$ sú rovnako dlhé, preto je tento trojuholník rovnoramenný. Úsečka $KM$ je jeho výškou, a preto je kolmá na základňu $AB$. Podobne si môžeme zobrať trojuholník $CDK$, ktorý je tiež rovnoramenný a jeho výška, tiež úsečka $KM$, je teda kolmá aj na základňu tohto trojuholníka, teda na úsečku $CD$.

Ak je tá istá úsečka $KM$ kolmá na úsečky $AB$ a $CD$, tak musia byť úsečky $AB$ a $CD$ rovnobežné. Úsečka $KM$ ich navyše delí na $2$ zhodné časti (nezabúdajme, že body $K$ a $M$ sú stredmi strán AB a CD) V tomto momente sme ukázali, že náš štvoruholník $ABCD$ je vlastne lichobežník (má rovnobežné základne $AB$ a $CD$) s výškou $KM$.

Strany AB a CD majú rovnakú dĺžku

Teraz poďme ukázať, že úsečky $AB$ a $CD$ sú aj rovnakej dĺžky. Vieme, že výška na základňu v rovnoramennom trojuholníku delí trojuholník na dva zhodné pravouhlé trojuholníky. Naše rovnoramenné trojuholníky $ABM$ a $CDK$ teda ich výška (úsečka $KM$) delí na $4$ pravouhlé trojuholníky: $AKM$, $BKM$, $CKM$ a $DKM$. Zo zadania vieme, že $|AM| = |BM| = |DK| = |CK|$, teda, že prepony všetkých štyroch trojuholníkov majú rovnakú dĺžku. Ich ďalšia strana je práve zdieľaná úsečka $KM$. A ešte vieme, že všetky trojuholníky sú pravouhlé. Teda vieme, že sa všetky štyri trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle oproti väčšej z nich, a preto sú zhodné. Ak sú ale pravouhlé trojuholníky zhodné, tak sú aj pôvodné rovnoramenné trojuholníky zhodné, a teda majú rovnaké dĺžky základní. Preto o základniach platí $|AB|=|CD|$.

ABCD je obĺžnik a záver

Keďže body $A$, $D$ sú rovnako vzdialené od úsečky $KM$, tak úsečka $AD$ je rovnobežná s $KM$. Z rovnakého dôvodu je s $KM$ rovnobežná aj úsečka $BC$. Úsečky $BC$ a $AD$ sú tak rovnobežné a dokoca aj kolmé na základne $AB$, $CD$. Tým sme ukázali, že náš štvoruholník $ABCD$ je vlastne obdĺžnik.

Pozorný riešiteľ si všimne, že už teraz vieme úlohu dokončiť. Trojuholníky $NLD$ a $NLA$ sú pravouhlé so zhodnými odvesnami. Preto podľa vety $sus$ sú zhodné. Tým dostávame, že $|DL| = |AL| = 47$, čo sme chceli dokázať.

ABCD je štvorec

Ukazovať, že $ABCD$ je štvorec nie je teda v tomto momente potrebné, no pre záujemcov ukážeme aj to. Označme si $|AB| = |CD| = 2a$ a $|BC| = |DA| = 2b$. Z Pytagorových viet pre trojuholníky $KBC$ a $CDN$ dostávame $$|CK|^2 = a^2 + 4b^2 = 4a^2 + b^2 = |CN|^2,$$ z čoho po úprave dostaneme $a = b$. Teda $ABCD$ je naozaj štvorec.

To, že vo štvorci nám už platí $|DL| = |AL|$, nechávame na vás. Dá sa to dostať rovnako, ako pri obdĺžniku.