Pri deliteľnostiach s prvočíslami býva užitočné rozkladať veci na súčin. V tejto úlohe dokonca máme výrazy, ktoré na súčin idú rozložiť veľmi jednoducho. Pre každé $i$ od $1$ do $n$ má platiť

$$\begin{aligned} p_i &\mid p_{i+1}^2-1, \ p_i &\mid (p_{i+1}-1)(p_{i+1}+1).\end{aligned}$$

Indexy pritom berieme cyklicky, teda $p_{n+1} = p_1$.

Teraz vieme využiť známu vlastnosť prvočísel, že ak prvočíslo delí súčin dvoch alebo viacerých činiteľov, tak musí deliť jedného z nich. Navyše platí (keďže naše čísla sú kladné), že deliteľ musí byť menší alebo rovný ako číslo, ktoré delí, teda $p_i \leq p_{i+1}-1$, ak $p_i$ delí prvú zátvorku alebo $p_i \leq p_{i+1}+1$. Výhodnejšie však bude mať len jednu nerovnosť, a to $p_i \leq p_{i+1}+1$, ktorá platí v každom prípade pre všetky $i$.

Vidíme, že oba činitele, z ktorých jeden $p_i$ delí, sú pre nepárne prvočíslo $p_{i+1}$ párne. Oplatí sa teda úlohu rozdeliť podľa toho, či nejaké $p_i$ je rovné $2$.

Majme postupnosť prvočísel spĺňajúcu vzťahy zo zadania a skúmajme, aký môže byť počet týchto prvočísel $n$. Predpokladajme najprv, že niektoré z prvočísel je rovné $2$. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že $p_n=2$. Keďže podmienky sa nezmenia, ak indexy prvočísel posunieme do kruhu, môžeme ich posunúť tak, aby dvojka (alebo jedna z viacerých dvojok) skončila na indexe $n$.

Potom platí $p_{n-1} \mid 2^2-1 = 3$, teda jediná možnosť, ako môže vyzerať predchádzajúce prvočíslo, je $p_{n-1} = 3$. Pokračujme podobne ďalej, $p_{n-2} \mid 3^2-1 = 8$. Jediné prvočíslo, ktoré delí $8$, je $2$, takže $p_{n-2} = 2$. Opakuje sa nám situácia, v ktorej sme boli pre $n$. Keď budeme tento postup opakovať, bude nám opakovane vychádzať, že jediná možnosť je, že postupnosť má tvar $2,\ 3,\ 2,\ 3,\ 2,\ 3,\dots$.

Časom sa však potrebujeme dostať opäť k $p_n$, ktoré je ale rovné $2$. S párnym počtom prvočísel to funguje. Môžeme zobrať $p_1 = p_3 = \dots = p_{n-1} = 3$ a $p_2 = p_4 = \dots = p_n = 2$. Tieto prvočísla skutočne vyhovujú zadaniu.

Ak by však $n$ bolo nepárne, dostali by sme, že $p_n = p_{n-2} = \dots =p_1 = 2$, ale neplatí nám $p_n \mid p_1^2-1$, pretože $2 \not\mid 3$. To znamená, že pri nepárnom počte prvočísel dvojku nemáme.

Pre všetky $i$ platí $p_i \mid p_{i+1}-1$ alebo $p_i \mid p_{i+1}+1$. Zároveň všetky $p_i$ sú nepárne, a teda $p_{i+1}-1$ aj $p_{i+1}+1$ sú párne. Ak nepárne $p_i$ delí niektorý z týchto výrazov, delí aj jeho polovicu. Ako sme už naznačili v úvode, $p_i$ musí byť menšie alebo rovné ako to, čo delí, teda ako $\frac{p_{i+1}-1}{2}$ alebo ako $\frac{p_{i+1}+1}{2}$, v oboch prípadoch ale platí

$$\begin{aligned} p_i \leq \frac{p_{i+1}+1}{2}.\end{aligned}$$

Pre $p_{i+1} \geq 3$ (všetky nepárne prvočísla sú väčšie alebo rovné $3$) nám platí, že $\frac{p_{i+1}+1}{2} < p_{i+1}$, čo ľahko overíme roznásobením. Máme teda $p_i \leq \frac{p_{i+1}+1}{2} < p_{i+1}$. Napísaním všetkých takýchto nerovností za seba dostaneme

$$\begin{aligned} p_1 < p_2 < p_3 < \dots < p_n < p_1,\end{aligned}$$

pretože podmienky platia cyklicky. Toto očividne nemôže nastať, pretože z toho vyplýva, že $p_1 < p_1$.

Aj keď sa to možno nezdá, táto argumentácia funguje aj pre $n=1$, pretože $p_1$ delí $p_1-1$ alebo $p_1+1$ a z nepárnosti platí, že $p_1 \leq \frac{p_1+1}{2} < p_1$, čo je rovnako ako vyššie spor.

Hľadané čísla $n$ sú teda všetky kladné párne čísla.