8. Komančská Maľba v Stene
Zadanie
„Ser Pepper!“ kričal zadychčaný muž texaským dialektom, „Komančovia sa vrátili! V noci1 do našich úrodných polí doniesli obrovskú stenu, a do nej vypálili znak. Musíte nám pomôcť.“ Sgt. Pepper neváhal. Povedal jeho povestné „Idem, riešim,“ nasadol na koňa a vybral sa za kovbojom. Až dorazili na miesto činu a prisvietili si svojimi fakľami, odkryl sa im takýto obraz:
Nech $ABCD$ je tetivový štvoruholník, pre ktorý platí $|DA| < |AB| = |BC| < |CD|$. Body $E$ a $F$ sú postupne zvolené na stranách $CD$ a $AB$ tak, že priamky $BE$ a $AC$ sú na seba kolmé a priamky $EF$ a $BC$ sú rovnobežné. Dokážte, že $|FB| = |FD|$.
-
Čiže teraz, lebo teraz bola noc. ↩
Napriek tomu, že úloha bola zaradená ako ôsma, jej riešenie si vyžaduje iba tie najzákladnejšie vedomosti a ich aplikácia je relatívne priamočiara. Dalo by sa povedať, že na vyriešenie tejto úlohy je potrebné „čisté uhlenie“. Ak ste túto úlohu nevyriešili, odporúčam vám venovať tomuto vzoráku plnú pozornosť a snažiť sa odniesť si čo najviac princípov.
Najpriamočiarejší spôsob, ako ukázať, že dĺžky dvoch úsečiek stretávajúcich sa v jednom bode sú rovnaké, je jednoducho ukázať, že trojuholník vytvorený týmito dvomi úsečkami je rovnoramenný. Naším cieľom je ukázať rovnoramennosť trojuholníka $BDF$. Najjednoduchšie sa to dá tak, že ukážeme rovnosť $|\sphericalangle{BDF}|=|\sphericalangle{DBF}|$. Uhol ${DBF}$ je vďaka vete o obvodových uhloch rovný uhlu ${ACE}$. Priamo zo zadania tiež máme rovnosť uhlov ${BAC}$ a ${BCA}$ a opäť, použitím vety o obvodových uhloch tiež ${BDC}$.
Teraz už budeme musieť trochu pohútať. Šikovné geometrické oko si hneď všimne, že nakoľko strana $EF$ je rovnobežná so stranou $BC$, musí byť štvoruholník $AFED$ tetivový. To vidno napríklad tak, že uhol ${FED}$ je rovnako veľký ako ${BCD}$ (z rovnobežnosti), a teda je rovný $180^\circ-|\sphericalangle{FAD}|$, z čoho už tetivovosť, podľa známeho a dôležitého tvrdenia o protiľahlých uhloch v tetivovom štvoruholníku, vyplýva.
To nás motivuje dokresliť aj stranu $AE$, aby sme mohli plne využívať obvodové uhly aj v štvoruholníku $AFED$. Teraz vieme preniesť náš dôležitý uhol ${FDB}$ na uhol ${CAE}$. Toto nevyplýva priamo použitím obvodových uhlov, ale až dopočítaním z rovnosti uhlov ${FDE}$ a ${FAE}$ po odpočítaní identických uhlov ${BAC}$ a ${BDC}$.
Vidíme, že ak majú byť rovnaké uhly ${FDB}$ a ${FBD}$, potom sme práve vyuhlili, že aj uhly ${CAE}$ a ${ACE}$ by boli rovnaké (a naopak, z rovnakosti týchto dvoch uhlov spätne vyplýva aj rovnakosť našich pôvodných). Teda trojuholník $ACE$ musí byť rovnoramenný. Teda $E$ musí ležať na osi strany $AC$. Ale keďže priamka $BE$ bola definovaná ako kolmica z $B$ na $AC$ a $ABC$ je rovnoramenný trojuholník, $BE$ musí byť os strany $AC$.
