Brute-force AG riešenie spočíva v použití váženej AG nerovnosti, t.j. ak platí pre kladné $\lambda_1+\dots+\lambda_n=1$, tak pre všetky kladné reálne čísla $x_1\dots x_n$ platí

$$\lambda_1x_1+\dots+\lambda_nx_n\geq x_1^{\lambda_1}\cdots x_n^{\lambda_n}.$$ Ak ste sa s AG nerovnosťou v takejto forme nestretli, checknite napr TU.

Skúsime teda použiť takúto nerovnosť pre $x_1=a^4, x_2=b^3, x_3=c^2$. Keďže $\lambda_i<1$, tak budeme potrebovať viac nerovností, ktoré potom sčítame, aby na ľavej strane vyšlo $a^4 + b^3+c^2$ (a dáva zmysel že budú tri). Treba iba trochu skúšať a hrať sa zo zlomkami, aby vyšlo napríklad toto:

$$\begin{aligned} \frac{21}{26}a^4 + \frac{2}{26}b^3 + \frac{3}{26}c^2\geq a^{\frac{84}{26}}b^{\frac{6}{26}}c^{\frac{6}{26}}&=(abc)^{\frac{6}{26}}a^3\geq a^3\ \frac{2}{26}a^4 + \frac{20}{26}b^3 + \frac{4}{26}c^2\geq a^{\frac{8}{26}}b^{\frac{60}{26}}c^{\frac{8}{26}}&=(abc)^{\frac{8}{26}}b^2\geq b^2\ \frac{3}{26}a^4 + \frac{4}{26}b^3 + \frac{19}{26}c^2\geq a^{\frac{12}{26}}b^{\frac{12}{26}}c^{\frac{38}{26}}&=(abc)^{\frac{12}{26}}c^1\geq c^1.\\end{aligned}$$ Sčítaním všetkých nerovností získame požadovanú nerovnosť.

Trikové riešenie spočíva vo všimnutí si nasledovných nerovností:

$$\begin{aligned} c^2-c&\geq c-1\ b^3-b^2&\geq b-1\ a^4-a^3&\geq a-1. \\end{aligned}$$ Tie platia, pretože $a^4-a^3-a+1=(a^3-1)(a-1)=(a-1)^2(a^2+a+1)$, čo je zjavne nezáporné (rovnako pre $b,c$). Ich sčítaním a použitím klasického AG získame, čo chceme: $$a^4+b^3+c^2-a^3-b^2-c\geq a+b+c-3\geq 3\sqrt[3]{abc}-3\geq 3\sqrt[3]{1}-3= 0.$$