Kubko, byvší tou matematickou legendou, za ktorú ho všetci považujú, úlohu vyriešil ľavou prednou. Jótaró Hamata uznanlivo pokýval hlavou a vydali sa späť do Tokia. Sadli do Jótarovho auta a vyrazili. Jótaró chvíľu šoféroval mlčky a potom sa opýtal: „Bude ti vadiť, keď si pustím hudbu? Pri šoférovaní ma upokojuje.“ Kubko pokýval hlavou, že mu to v najmenšom neprekáža. Jótaró vybral z náprsného vrecka kazetu a vložil ju do obstarožného prehrávača. Autom sa rozľahli teplé tóny niekoho menom Takaši Jošimacu (ako Jótaró Kubkovi vysvetlil). O pol minúty na to auto zastalo a kazeta stíchla. Stáli pred Kubkovým hotelom. Nebo bolo plné hviezd, ktoré žiaľ kvôli svetelnému smogu nebolo vidieť, a noc voňala tajomstvom. Jótaró sa oprel a úplne zbytočne zašepkal: „Sme na mieste.“ Kubko prikývol a zahľadel sa na obzor. Spoločne mlčali. Jótaró napokon pootvoril ústa a potichu, ako keď kladiete niekoho srdcu blízkeho do postele, pošepkal: „To, čo ti teraz poviem, ti možno príde kryptické. Ale verím, že raz si uvedomíš plnú dôležitosť mojich slov a vtedy si na mňa spomenieš.“ Kubko nevedel, čo odpovedať, tak mlčal. Jótaró trochu bubnoval prstami po volante a napokon Kubkovi prezradil zmysel života, prezradil mu ho v otázke, ktorá Kubka mátala až do rána, a potom aj počas celého letu späť domov a ktovie ako dlho ešte:
„Existuje nekonečne veľa kladných celých čísel $n$, pre ktoré je číslo $(2020n)!$ deliteľné číslom $n! + 1$?“
Ukážeme, že existuje len konečne veľa takých čísel. Predpokladajme, že pre nejaké $n$ platí $n!+1\mid (2020n)!$. Využitím vzťahu $${kn\choose n}=\frac{(kn)(kn-1)\dots((k-1)n+1)}{n!}$$ môžeme upraviť pravú stranu nasledovne: $$(2020n)!=(n!^{2020}){n\choose n}{2n\choose n}\dots{2020n\choose n}.$$
Vieme, že čísla $n!+1$ a $n!$ sú nesúdeliteľné, a preto môžeme pravú stranu deliteľnosti vydeliť $n!^{2020}$. Dostávame $$n!+1\mid {n\choose n}{2n\choose n}\dots{2020n\choose n}.$$
Kombinačné číslo ${kn\choose n}$ sa nachádza v $(kn)$-tom riadku Pascalovho trojuholníka, ktorého súčet je $2^{kn}$. Preto platí ${kn\choose n}<2^{kn}$. Keď aj našu deliteľnosť nahradíme nerovnosťou, tak použitím tohto odhadu máme: $$n!+1\le {n\choose n}{2n\choose n}\dots{2020n\choose n}<2^n\cdot 2^{2n}\cdots 2^{2020n}=(2^{(1010 \cdot 2021)n})=M^n,$$
kde sme pre jednoduchosť označili $2^{1010 \cdot 2021}=M$. Avšak faktoriál rastie rýchlejšie ako exponenciálna funkcia, a preto existuje konštanta $C$ taká, že pre $n>C$ je $n!>M^n$.
Ak vám to nie je jasné, zamyslite sa nad tým, že ak položíme $n=2M$ a postupne zväčšujeme $n$ o 1, tak pomer $n!/M^n$ sa vždy aspoň zdvojnásobí. Preto od istého $C$ bude väčší ako 1.
To znamená, že nutne $n\le C$, čo znamená, že našich hľadaných $n$ môže byť len konečne veľa, čo sme chceli dokázať.
Korešpondenčný matematický seminár zastrešuje občianske združenie Trojsten.
Trojsten, o.z.
FMFI UK, Mlynská dolina
842 48 Bratislava
Intenzívny matematický zážitok v lete
Tímová matematická súťaž pre stredoškolákov
Knižnica všemožných matematických múdrostí