Odpoveď je NIE. Treba sa mať vždy na pozore a nikdy nepredpokladať, že zadanie platí a hneď ho dokazovať. Je dobré si vyskúšať najprv pre pekné a potom aj nejaké škaredé konštanty, že to vychádza. Pri vyskúšaní prvých dvoch “škaredých” konštánt zistíme, že to neplatí. V našom príklade si ukážeme, že pre $a=1, b=\frac{1}{2}$ také $m,n$ neexistujú. Samozrejme sa to dá dokázať aj pre mnohé iné dvojice, veľa z vás to dokazovalo pre $1$ a $\frac{1}{4}$, či dvojicu $\frac{1}{2}$ a $\frac{1}{4}$.

Čo chceme dokazovať? Chceme ukázať, že pre všetky $m,n\in \mathbb{N}$ je číslo $\left(1m + \frac{1}{2}\right)^2 + \left( \frac{1}{2}n +1 \right)^2$ necelé. Ak ale roznásobíme zátvorky, dostávame

$$\begin{split} \left(m + \frac{1}{2} \right)^2 + \left(\frac{1}{2}n + 1 \right)^2 &=\frac{(2m+1)^2+(n+2)^2}{4} =\frac{4m^2+4m+4n+4+n^2+1}{4} \ &=m^2+m+n+1+\frac{n^2+1}{4}. \end{split}$$

Ale základný trik pri práci s mocninami je znalosť tzv. kvadratických zvyškov, teda že $n^2$ má vždy zvyšok 0 alebo 1 modulo 4. Inak povedané, $n^2+1$ nikdy nie je deliteľné štyrmi. Teda celý výraz tiež prirodzený nikdy nebude, pre žiadnu voľbu $m,n$. Takže skutočne, pre $a=1, b=\frac{1}{2}$ neexistujú také $m,n$, aby bol výraz $(am+b)^2+(bn+a)^2$ prirodzené číslo.