Pri funkcionálnych rovniciach a nerovnostiach veľmi často býva užitočným prvým krokom dosadiť si za argumenty funkcie nejaké konkrétne čísla a skúsiť z toho odpozorovať niečo zaujímavé. Ako kandidáti na tieto konkrétne argumenty sa ponúkajú najčastejšie čísla $0$, $1$ alebo $-1$. Skúsme to využiť aj v tomto prípade.

Ak dosadíme do nerovnosti $a=b=-1$, dostaneme $$\begin{aligned} f(-1)f(-1) + f(1) &\le -2, \nonumber \ f(-1)^2 + f(1) &\le -2, \qquad (1) \ f(1) &\le -2 -f(-1)^2 . \nonumber\end{aligned}$$

Môžeme si všimnúť, že $-f(-1)^2$ je vždy záporné, a teda táto nerovnica implikuje, že $$f(1) \le -2 \qquad (2).$$

Podobne môžeme postupovať s $a=b=1$: $$\begin{aligned} f(1)f(1) + f(1) &\le 2, \nonumber \ f(1)^2 + f(1) &\le 2, \nonumber \ f(1)^2 + f(1) - 2 &\le 0, \nonumber \ (f(1) - 1)(f(1) + 2) &\le 0, \nonumber \ f(1)\in\left<-2;1\right> \qquad (3).\end{aligned}$$

Skombinovaním (2) a (3) dostaneme, že $f(1)=-2$. Ak sa vrátime k (1) a dosadíme hodnotu $f(1)$, vieme získať hodnotu pre $f(-1)$: $$\begin{aligned} f(-1)^2 + f(1) &\le -2, \ f(-1)^2 - 2 &\le -2, \ f(-1)^2 &\le 0, \ f(-1) &= 0.\end{aligned}$$

Získali sme dosádzaním konkrétnych čísel nejaké informácie o hĺadaných funkciách. Pokúsme sa využiť tieto dve hodnoty v náš prospech. Chceli by sme nájsť nejaké informácie o hľadanej funkcii aj pre všeobecné argumenty. Dosaďme teda do nerovnosti $a=x$ a $b=1$: $$\begin{aligned} f(x)f(1) + f(x) &\le x + 1, \nonumber \ -2f(x) + f(x) &\le x + 1, \nonumber \ -f(x) &\le x + 1, \nonumber \ f(x) &\ge -x - 1 \qquad (4) .\end{aligned}$$

Podobne postupujme aj pri dosadení $a=-x$ a $b=-1$: $$\begin{aligned} f(-x)f(-1) + f(x) &\le -x - 1, \nonumber \ 0f(-x) + f(x) &\le -x - 1, \nonumber \ f(x) &\le -x - 1 \qquad (5) .\end{aligned}$$

Skombinovaním (4) a (5) dostávame $-x - 1 \le f(x) \le -x - 1$, čiže $f(x)=-x-1$.

Zistili sme, že $f(x)=-x-1$ je jedinou funkciou $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takou, že $f$ má potenciál spĺňať nerovnosť zo zadania. Už nám ostáva len overiť, či tú nerovnosť naozaj spĺňa pre všetky argumenty z $\mathbb{R}$: $$\begin{aligned} f(a)f(b) + f(ab) &\le a+b, \nonumber \ (-a-1)(-b-1) + (-ab-1) &\le a+b, \nonumber \ ab + a + b + 1 - ab - 1 &\le a+b, \nonumber \ a + b &\le a + b. \qquad (6)\end{aligned}$$

Z (6) jasne vidíme, že nerovnosť platí pre všetky možné hodnoty $a,b\in\mathbb{R}$. Dokázali sme teda, že $f(x)=-x-1$ je jedinou funkciou, pre ktorú platí nerovnosť zo zadania.