Najprv urobíme niekoľko zaujímavých pozorovaní.

• Nezaujíma nás konkrétne číslo na kalkulačke, iba jeho zvyšok po delení $13$.

• Nezaujímajú nás čísla, ktoré boli na kalkulačke v minulosti.¹.

Nech $p_{i}, 1 \leq i \leq 12$ je pravdepodobnosť, že ak sa práve teraz na kalkulačke nachádza číslo so zvyškom $i$, Tarzanko niekedy v budúcnosti vyhrá. Našou úlohou je nájsť hodnotu $p_{1}.$

Zrejme $$p_{12} = 0,\quad p_{10} = 1.$$ Nasledujúcim spôsobom vieme vyjadriť pravdepodobnosť $p_i$ pomocou pravdepodobností čísel, ktoré sa na kalkulačka môžu objaviť v ďalšom kroku. Keď na kalkulačke je číslo $i$, v nasledujúcom ťahu sa na kalkulačke môžu objaviť čísla $(3i, 5i, 8i, 9i)$, každé s pravdepodobnosťou jedna štvrtina. To, že Tarzanko vyhrá, sa môže stať jedným z nasledujúcich štyroch spôsobov: (ďalšie číslo na kalkulačke bude $3i$ a Tarzanko vyhrá, ďalšie číslo na kalkulačke bude $5i$ a Tarzanko vyhrá, …). Celková pravdepodobnosť $p_i$ výhry Tarzanka je súčet pravdepodobností týchto štyroch udalostí. Ich pravdepodobnosti sú $$\left(\frac{1}{4}p_{3i},\ \frac{1}{4}p_{5i},\ \frac{1}{4}p_{8i},\ \frac{1}{4}p_{9i}\right).$$

Napríklad dostaneme

$$p_{1} = \frac{1}{4}(p_{3} + p_{5} + p_{8} + p_{9}).$$

Podobne $$p_{2} = \frac{1}{4}(p_{6} + p_{10} + p_{3} + p_{5})$$ a analogicky vieme napísať rovnicu pre každé $i, 1 \leq i \leq 12.$

Tým dostávame sústavu $10$ rovníc o $10$ neznámych, ktorú stačí vyriešiť.

Následne zistíme $p_{1} = \frac{21}{46} \approx 0.457$.

Bonus

Ešte si ukážeme ako šikovným spôsobom bolo možné znížiť počet neznámych. Hru zo zadania si možno predstaviť ako dvojrozmernú tabuľku na obrázku.

• na začiatku hry sa nachádzame v ľavom hornom rohu

• násobenie číslom $3$ znamená krok smerom hore

• násobenie číslom $5$ znamená krok smerom vpravo

• násobenie číslom $8$ znamená krok smerom vľavo

• násobenie číslom $9$ znamená krok smerom dole

• ak by sme mali urobiť krok mimo tabuľky, objavíme sa na opačnom konci tabuľky (ak sa nachádzame na čísle $1$ a pôjdeme dohora, objavíme sa na čísle $3$)

• ak sa dostaneme na políčko s číslom $10$ vyhral Tarzanko, ak na políčko s číslom $12$ vyhrala Janka

Ďalej budeme políčka označovať iba číslami.

Pozorovania:

• Rozhodujúce pozície $10, 12$ sú symetricky uložené vzhľadom na každú z pozícií označených číslami $9,\ 6,\ 4,\ 7$. To znamená $p_{9} = p_{6} = p_{4} = p_{7} = \frac{1}{2}.$

• Pozícia rozhodujúcich políčok je voči $1, 3$ zrkadlovo otočená ($10$ má rovnakú pozíciu voči $3$ ako $12$ voči $1$ a naopak). To znamená $p_{1} = 1 - p_{3}$.

• Podobné pozorovanie možno urobiť aj s dvojicami $(5, 2),\ (8, 11),$ teda $p_{5} = 1 - p_{2},\ p_{8} = 1 - p_{11}$.

Týmto spôsobom je možné znížiť počet neznámych na $3$ a stačí vyriešiť sústavu troch rovníc.