[email protected] Maťko „Vodka“ Vodič[email protected]

Označme $V$ bod dotyku $BC$ a vpísanej kružnice. Nech $V’$ je druhý priesečník priamky $VI$ a vpísanej kružnice, takže $VV’$ je jej priemer. Ďalej označme bod dotyku $BC$ a $A$-pripísanej kružnice $P$. ($A$-pripísaná kružnica je taká, ktorá sa dotýka $BC$ z vonkajšej strany a priamok $AB$ a $AC$.)

Ukážeme, že $A,$ $V’$ a $P$ ležia na jednej priamke.

Veďme rovnobežku s $BC$ cez bod $V’$ a označme priesečníky s $\triangle ABC$ postupne $B’$ a $C’$. Platí, že $\triangle ABC \simeq \triangle AB’C’$. Všimnime si, že úsečka $BC$ sa dotýka vpísanej kružnice v bode $V’$, lebo bod $V’$ je „najvyššie položený bod“ na vpísanej kružnici, a teda vpísaná kružnica $\triangle ABC$ je zároveň pripísanou kružnicou $\triangle AB’C’$. Vďaka tomu sa $\triangle AB’C’$ zobrazí v rovnoľahlosti so stredom v $A$ na $\triangle ABC$ a vpísaná kružnica na $A$-pripísanú. Bod $V’$ sa takto zobrazí na $P$. Z toho plynie, že body $A,V’$ a $P$ ležia na jednej priamke.

Nech $E’$ je druhý priesečník priamky $AV’$ s vpísanou kružnicou. Naším cieľom teraz bude ukázať, že $E=E’$.

O bodoch dotyku pripísanej a vpísanej kružnice platí známe tvrdenie, a to že $|BV|= |PC|$, z čoho dostávame, že aj $|VD|=|DP|$, lebo $D$ je stred strany $BC$.

Ak toto tvrdenie nepoznáte, tak si ho môžete skúsiť dokázať: Nakreslite si všetky body dotyku vpísanej a pripísanej kružnice a skúste vyjadriť $|BV|$ a $|PC|$ pomocou dĺžok strán trojuholníka $ABC$. Obe sú rovné $(|AB|+|BC|-|AC|)/2$. Využite, že ak z ľubovoľného bodu spustíme dve dotyčnice ku kružnici, tak vzdialenosť k dvom bodom dotyku je rovnaká.

Keďže $VV’$ je priemer vpísanej kružnice, na ktorej leží aj $E’$, tak uhol $V’E’V$ je pravý (Tálesova veta). Z toho máme, že $VE’P$ musí byť tiež pravý, teda $\triangle V’EP$ je pravouhlý. Platí, že v pravouhlom trojuholníku je stred opísanej kružnice zároveň stredom prepony. Preto je $D$ stred opísanej kružnice $\triangle VE’D$ a z toho $|VD|=|DE’|=|DP|$. To znamená, že $V$ a $E’$ sú dva body ležiace na vpísanej kružnici, ktoré sú rovnako vzdialené od bodu $D$ a takéto body môžu byť len dva. Keďže $VD$ je dotyčnica vpísanej kružnice, tak aj $DE’$ musí byť dotyčnica. Z toho už vyplýva rovnosť $E=E’$.

Posledným krokom je ukázať rovnobežnosť $DI$ a $AE$. Už sme ukázali, že body $A,V’,E,P$ ležia na jednej priamke a tiež, že $D$ je stred $VP$. Ďalej vieme, že $I$ je stredom $VV’$. Preto je $DI$ stredná priečka $\triangle VPV’$, čiže $DI$ je rovnobežná z $AE$. Tým je dôkaz hotový.