[email protected] [email protected]

Keď sa zamyslíme nad úlohou, po tom, čo sa vyplašíme zo slova pravdepodobnosť a množstva možností, ktoré nám prebehnú pred očami, nám isto napadne, že budeme potrebovať porovnať pravdepodobnosti pre všetky možné čísla, ktoré nám môžu padnúť na prvej loptičke. Aby sme sa neupočítali k smrti, budeme hľadať všeobecný vzorec, do ktorého len dané čísla nakoniec dosadíme.

Označme si teda číslo, ktoré nám padne na prvej loptičke $k$. Zo zadania vieme, že všetky čísla $k \in {1,10}$ padajú s rovnakou pravdepodobnosťou.

Teda pravdepodobnosť, že nám na prvej loptičke padlo $k$ je $\frac{1}{10}$. Potom pravdepodobnosť, že na loptičke padne číslo väčšie ako $k$ je $\frac{10-k}{10}$ a pravdepodobnosť, že na loptičke padlo číslo menšie alebo rovné $k$ je $\frac{k}{10}$. (Keďže pravdepodobnosť počítam ako počet vhodných možností deleno počet všetkých možností.)

Taktiež potrebujeme počítať s tým, že loptičky môžu byť rôzne usporiadané a nechceme eliminovať možnosti, ktoré majú iba rôzne poradie. Teda počet rôznych usporiadaní je $9 \choose 6$, pretože mám deväť miest, na ktoré chcem umiestniť šesť loptičiek s číslom väčším ako $k$. Na zvyšné tri miesta budú umiestnené loptičky s číslom menším alebo rovným $k$. (Pozn.: ${9 \choose 6} = {9 \choose 3}$).

Tieto pravdepodobnosti sú nezávislé, a teda ich môžem násobiť. Čiže pravdepodobnosť, že prvé číslo je $k$ a dostanem šesť čísel väčších ako $k$, a tri čísla menšie alebo rovné $k$, je $$\frac{1}{10} \cdot {9 \choose 6} \cdot \left(\frac{10-k}{10}\right)^6 \cdot \left(\frac{k}{10}\right)^3$$

Keďže $k$ môže mať desať rôznych hodnôt, asi najjednoduchší spôsob, ako zistiť, ktorá z nich má najväčšiu pravdepodobnosť, je vypočítať každú zvlášť. S použitím tohto vzorca teda zistíme, že najväčšiu pravdepodobnosť má hodnota $k=3$, a to približne $0,0267$. ¹