Tomáš [email protected] [email protected]

Pri riešení úloh takéhoto typu nám môže pomôcť pozrieť sa na zvyšky po delení nejakým číslom. V rovnici sa nám vyskytuje tretia mocnina, pozrime sa teda, aké zvyšky môže dávať $c^3$ po delení $7$¹: $$\begin{aligned} 0^3\equiv 0 \pmod 7,\ 1^3\equiv 2^3\equiv 4^3\equiv 1 \pmod 7,\ 3^3\equiv 5^3\equiv 6^3 \equiv 6 \pmod 7.\end{aligned}$$ Sú to teda len tri zvyšky, a to $0,1,6$. Navyše $2^{a!}$ môže po delení $7$ dávať len zvyšky $2, 4, 1$, keďže pre $a\ge3$ platí $3\mid a!$, a preto $$2^{a!}=\left(2^3\right)^{\frac{a!}{3}}\equiv 1 \pmod 7.$$ Podobne aj $2^{b!}$ dáva po delení $7$ zvyšok $2,4$ alebo $1$. Potrebujeme teda nájsť dve (nie nutne rôzne) čísla z množiny ${1,2,4}$ tak, aby ich súčet dával po delení $7$ zvyšok z množiny ${0,1,6}$. Jednoducho overíme, že to spĺňajú len dvojice $(2,4),(4,2),(4,4)$, z čoho dostaneme, že $(a,b)$ musí byť spomedzi $(1,2),(2,1),(2,2)$. Avšak $$2^{1!}+2^{2!}=2^{2!}+2^{1!}=6$$ nie je tretia mocnina prirodzeného čísla, takže ostáva len prípad $a=b=2$ a vtedy platí $$2^{2!}+2^{2!}=8=2^3,$$ takže úloha má práve jedno riešenie, a tým je $a=b=c=2$.

Iné riešenie

Ukážeme si ešte jedno riešenie, ktoré využíva inú myšlienku. BUNV² môžeme predpokladať $a\le b$. Potom rovnicu prepíšeme do tvaru $$2^{a!}\cdot\left(1+2^{b!-a!} \right)=c^3.$$

Ak $a<b$, tak v zátvorke je nepárne číslo a pred ňou je mocnina dvojky, takže tieto dve čísla sú nesúdeliteľné. Na to, aby bol ich súčin treťou mocninou, tak musí každé z nich byť treťou mocninou prirodzeného čísla, takže $$1+2^{b!-a!}=d^3$$ pre nejaké prirodzené $d$. Odčítaním $1$ z oboch strán a úpravou na súčin dostaneme $$2^{b!-a!}=d^3-1=(d-1)\left(d^2+d+1\right).$$ Čísla $d$ a $d^2$ majú rovnakú paritu, takže $d^2+d$ je párne, ale potom $d^2+d+1$ je nepárne číslo väčšie ako $1$, ktoré delí mocninu dvojky, čo je spor, takže úloha nemá riešenie, v ktorom $a<b$.

Ostáva nám už teda iba prípad $a=b$, kedy $$2\cdot 2^{a!}=c^3,$$ čiže $2^{1+a!}$ má byť treťou mocninou, čo sa stane práve vtedy, keď $1+a!$ je deliteľné tromi, a to je práve pre $a=2$. Ľavá strana rovnice v zadaní má vtedy hodnotu $8$, čo je $2^3$, takže opäť dostaneme jediné riešenie $a=b=c=2$.