Žirafka Kubko bola, ako každý štvrtok večer, v kasíne na dámskych sprchách zahrať si kocky. Avšak tento štvrtok tam nebola žiadna konkurencia. Kubka to úplne zarmútilo, ako si má žirafka zahrať hazard, keď má výhru skoro istú. A tak sa radšej išla hrať s $n$ kockami. Keď si z nich všetkých chcela postaviť štvorec (t. j. kváder $1 \times a \times a$ pre nejaké prirodzené číslo $a$), zistila, že jej jedna chýba. Keď si z nich chcela postaviť kocku, opäť jej jedna chýbala. Ukážte, že $n$ nie je prvočíslo.
Opravovatelia
Skaloš [email protected]
Zapíšme si, čo nám hovorí zadanie. $n$ kocočiek sme (skoro) poukladali do štvorca, ale jedna chýbala. Teda ak $a$ je strana tohto štvorca, tak platí $n=a^2-1$. Obdobne sme kocočky (skoro) poukladali do väčšej kocky, len jedna chýbala. Keď označíme stranu kocky $b$, tak platí $n=b^3-1$. (Obe $a$ aj $b$ sú prirodzené čísla.)
Keď už máme aspoň trošku skúseností s výrazmi a vzorčekmi, ľahko si uvedomíme, že platí $a^2-1=(a-1)(a+1)$. Teda číslo $n$ vieme zapísať ako súčin dvoch prirodzených čísel. Ak by bolo $n$ prvočíslo, tak jedno z nich musí byť $1$. Nutne to musí byť $a-1$, lebo je z tých dvoch menšie. Preto $a=2$ a $n=3$.
Máme však aj druhú rovnosť, a to že $n=b^3-1$ pre nejaké prirodzené $b$. V našom prípade by tak malo platiť $b^3=4$, avšak také $b$ zjavne nie je prirodzené. Teda ten jediný prípad, kedy je $(a-1)(a+1)$ prvočíslo, nevyhovuje druhej podmienke, a tak $n$ je vždy zložené.
Korešpondenčný matematický seminár zastrešuje občianske združenie Trojsten.
Trojsten, o.z.
FMFI UK, Mlynská dolina
842 48 Bratislava
Intenzívny matematický zážitok v lete
Tímová matematická súťaž pre stredoškolákov
Knižnica všemožných matematických múdrostí