6. (NE)Konvexne Miznú Škvrny
Zadanie
Žirafka Viktor sa rozhodla, že sa pôjde kúpať do Bermudského trojuholníka. Keď vyliezla z vody, všimla si na sebe niečo podivné. Namiesto zvyčajných škvŕn mala zrazu po celom tele nekonvexné trolluholníky. Nevedela, čo s tým spraviť, tak sa išla poradiť za miestnou čarodejnicou Kajou. Tá jej povedala, že jediný spôsob ako to vyliečiť, je vyriešiť nasledujúcu úlohu.
V ostrouhlom trojuholníku $ABC$ označme $D$ pätu výšky na stranu $BC$. Zvoľme bod $G$ ľubovoľne na úsečke $AD$. Ďalej označíme $X$ pätu kolmice z bodu $A$ na priamku $BG$ a $Y$ pätu kolmice z $A$ na $CG$. Dokážte, že body $B,\, C,\, X,\, Y$ ležia na kružnici.
Opravovatelia
Kubo P. [email protected]
Dokázať, že štyri body sú na kružnici vieme napríklad tak, že nájdeme dva uhly nad spoločnou úsečkou so zhodnou veľkosťou. Poďme sa teda pozrieť na niektorý z takýchto uhlov v štvoruholníku $BCXY$.
Pri riešení úlohy by sme takisto chceli využiť aj informácie o pravých uhloch zo zadania. Po preskúmaní náčrtu si môžeme všimnúť, že trojuholníky $GDB$ a $GXA$ zdieľajú jeden vrcholový a jeden pravý uhol, čiže sú si podobné. Z toho vieme určiť aj rovnosť uhlov $\sphericalangle DBG$ a $\sphericalangle GAX$.
Ďalšie dôležité pozorovanie vieme spraviť pri štvoruholníku $AYGX$. Protiľahlé uhly pri vrcholoch $Y$ a $X$ sú oba pravé a dávajú dokopy $180^\circ$, čím robia zo štvoruholníka $AYGX$ tetivový štvoruholník. Tým pádom vieme povedať, že uhly $\sphericalangle GAX$ a $\sphericalangle XYG$ sú zhodné, nakoľko sú to obvodové uhly.
Spojením predchádzajúcich dvoch rovností dostávame taktiež rovnosť uhlov $\sphericalangle CBX$ a $\sphericalangle CYX$. Nakoľko tieto dva uhly sú nad spoločnou úsečkou $CX$, sú tieto dva uhly obvodové a body $B,\, C,\, X,\, Y$ ležia na kružnici.
****
Iné riešenie
Zo zadania vyplýva istá symetria konfigurácie cez výšku $AD$. Rovnakým postupom by sme sa vedeli dopracovať k rovnosti uhlov $\sphericalangle YCB$ a $\sphericalangle YXB$, čím by sme taktiež dospeli k rovnakému výsledku.
