Opravovatelia

Michal Staník [email protected]

Najjednoduchší spôsob, ako ukázať, že hodnota nejakého výrazu je zložené číslo, je rozložiť ho na súčin. V niektorých úlohách sa dá nájsť prvočíslo, ktoré delí všetky hodnoty výrazu, ale dá sa tušiť, že toto v našej úlohe použiť nepôjde. Je veľmi nepravdepodobné, že $n^4+k$ (pre nejaké $k$) bude pre všetky $n$ deliteľné jedným a tým istým prvočíslom.

Ak by sme mali výraz $n^4-k$, bola by naša úloha veľmi jednoduchá, pretože by nám stačilo vziať $k$, ktoré je druhou mocninou prirodzeného čísla, a využiť vzorec $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ (každá štvrtá mocnina je zároveň druhou mocninou).

Pokúsme sa však našu myšlienku využiť a nejako ju vylepšiť. Povedzme, že by sme náš výraz chceli dostať ako druhú mocninu nejakého výrazu tvaru $(n^2 + k_1)^2$. Toto priamočiaro aplikovať nejde, pretože namiesto $n^4 + k_1^2$ dostaneme $n^4 + 2k_1n^2 + k_1^2$, čo je presne o $2k_1n^2$ viac, než by sme chceli. Nevadí, poďme to opraviť: $$n^4 + k_1^2 = (n^2 + k_1)^2 - 2k_1n^2.$$

Nezabudnite, že $k$ si volíme, môžeme si teda dávať podmienku typu, že je to štvorec nejakého čísla $k_1$ a podobne, len musí stále existovať nekonečne veľa $k$, ktoré podmienky spĺňajú.

Získaný výraz nám pripomína rozdiel dvoch štvorcov. Jediné, čo na to potrebujeme, je, aby bol $2k_1n^2$ štvorec, čo je ekvivalentné s tým, že $2k_1$ je štvorec. Nech teda $k_1 = 2k_2^2$, potom budeme mať $2k_1 = 4k_2^2 = (2k_2)^2$, čo je štvorec¹. Rozložením výrazu teraz dostaneme $$n^4 + k_1^2 = (n^2 + k_1)^2 - 2k_1n^2 = (n^2 + 2k_2^2)^2 - 4k_2^2n^2 = (n^2 + 2k_2^2)^2 - (2k_2n)^2 = (n^2 + 2k_2^2 - 2k_2n)(n^2 + 2k_2^2 + 2k_2n).$$

Výborne, rozklad na súčin je na svete. Ostáva overiť, že žiadna zo zátvoriek nie je $+1$ ani $-1$, pretože taký rozklad by nám k ničomu nepomohol. Podobne nechceme, aby niektorá zátvorka bola $0$, pretože vtedy by celý výraz bol nulový. Druhá zátvorka je súčtom troch prirodzených čísel, takže je aspoň $3$. Prvá zátvorka pripomína druhú mocninu rozdielu s tým, že je tam niečo navyše. Upravíme ju na $$n^2 + 2k_2^2 - 2k_2n = (n - k_2)^2 + k_2^2.$$ Máme súčet druhých mocnín, ktorý je vždy nezáporný. Navyše, pre $k_2 \geq 2$ je vždy aspoň $4 > 1$, ako sme chceli.

Našli sme teda nekonečne veľa vhodných $k$, ktoré sú tvaru $k = k_1^2 = (2k_2^2)^2 = 4k_2^4$ pre prirodzené $k_2 \geq 2$. Týchto čísel je zrejme nekonečne veľa, pretože pre rôzne $k_2$ dostávame rôzne kladné celé čísla $k$, čím je úloha hotová.