Opravovatelia

Ivka [email protected]

Našou úlohou je dokázať rovnosť. Preto budeme postupovať tak, že sa pokúsime prepísať ľavú stranu rovnosti tak, aby sme sa dostali ku tvaru pravej. Naľavo máme výraz $$a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor-\left\lfloor a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor\right\rfloor.$$ Ako už bolo vysvetlené v zadaní, dolná celá časť čísla $x$ je najväčšie celé číslo neprevyšujúce $x$. Platí teda $$\left\lfloor x \right\rfloor\leq x< \left\lfloor x\right\rfloor +1.$$ Pozrime sa bližšie na výraz $\left\lfloor x+k \right\rfloor$, kde $k$ je celé číslo. Keďže dolná celá časť celého čísla sa rovná hodnote čísla samotného, môžeme výraz prepísať nasledovne $$\left\lfloor x +k \right\rfloor=\left\lfloor x \right\rfloor +k.\tag{1}$$ Každá hodnota dolnej celej časti je celé číslo, teda aj $\left\lfloor a+b \right\rfloor\in\mathbb{Z}$. Na základe rovnosti $(1)$ môžeme upraviť náš výraz nasledovne $$a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor-\left\lfloor a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor\right\rfloor=a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor-(\left\lfloor a+b+c\right\rfloor-\left\lfloor a+b \right\rfloor),$$ a tak dostávame tvar $$a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor-\left\lfloor a+b+c\right\rfloor+\left\lfloor a+b \right\rfloor=a+b+c-\left\lfloor a+b+c\right\rfloor.$$ Pričítaním nuly hodnotu výrazu nezmeníme, preto keď ku danému výrazu pripočítame $0=\left\lfloor b+c \right\rfloor-\left\lfloor b+c \right\rfloor$, dostaneme ekvivalentný výraz tvaru $$a+b+c+\left\lfloor b+c \right\rfloor-\left\lfloor b+c \right\rfloor-\left\lfloor a+b+c\right\rfloor,$$ ktorý vďaka rovnosti $(1)$ môžeme prepísať ako $$a+b+c-\left\lfloor b+c \right\rfloor-\left\lfloor a+b+c-\left\lfloor b+c \right\rfloor\right\rfloor.$$ To je však pravá strana rovnosti zo zadania. Keďže všetky úpravy boli ekvivalentné a matematicky korektné, výraz na ľavej strane rovnosti je totožný s tým napravo.