Opravovatelia

Mati [email protected]

Martin [email protected]

Najprv si môžeme všimnúť, že $\operatorname{NSD}(a,b)^2$ delí oba výrazy, kde $\operatorname{NSD}(a,b)$, značí najväčšieho spoločného deliteľa čísel $a$ a $b$. Nech $a = \operatorname{NSD}(a,b)\cdot x$ a $b = \operatorname{NSD}(a,b)\cdot y$. Dosadením do oboch výrazov dostaneme $$\begin{align} 3ab&=3\cdot (\operatorname{NSD}(a,b)\cdot x)\cdot (\operatorname{NSD}(a,b)\cdot y) = 3 \cdot x \cdot y \cdot \operatorname{NSD}(a,b)^2,\ a^2+b^2&=(\operatorname{NSD}(a,b)\cdot x)^2+(\operatorname{NSD}(a,b)\cdot y)^2 = (x^2+ y^2)\cdot \operatorname{NSD}(a,b)^2.\end{align}$$

Ostáva nám už iba overiť, či a za akých okolností bude $3\cdot x \cdot y$ a $(x^2 + y^2)$ súdeliteľné, pričom už vieme, že $x$ a $y$ nie sú súdeliteľné. Nech $p$ je ľubovoľný prvočíselný deliteľ $x$. Potom $p$ delí $3\cdot x \cdot y$, zároveň $p$ delí $x^2$, no nedelí $y$, lebo $\operatorname{NSD}(x,y)=1$. Potom $p$ nedelí ani $y^2$ a tým pádom ani $x^2 + y^2$. Analogicky, žiadne prvočíslo deliace $y$ nedelí $x^2 + y^2$.

Nakoniec nás čaká $3$. Tú doriešime napríklad cez zvyškové triedy a deliteľnosť. Ak by $3$ delila $x$, tak určite nedelí $y$. Potom však nemôže deliť ani $x^2 + y^2$. Ostáva nám preveriť prípad keď $x$ dáva zvyšok $1$, poprípade $2$ po delení $3$. Poďme sa pozrieť na zvyšky $x^2$. $$(3 \cdot z +1)^2= (9 \cdot z^2 + 6 \cdot z)+1$$ a podobne $$(3 \cdot z +2)^2= (9 \cdot z^2 + 6 \cdot z+3)+1.$$ Vidíme, že nech si zvolíme $x,y$ ľubovoľne, tak nám ich štvorec dá zvyšok $1$. $x^2 + y^2$ potom bude dávať zvyšok $(1+1)=2$ po delení $3$. Trojkou teda deliteľný tiež nebude.

Práve sme overili, že pokiaľ $x$ a $y$ sú nesúdeliteľné, tak aj $3 \cdot a \cdot b$ a $a^2 + b^2$ budú tiež nesúdeliteľné. Výsledok teda naozaj je $\operatorname{NSD}\left(3 \cdot a \cdot b, a^2 + b^2\right) = \operatorname{NSD}(a,b)^2$.