Opravovatelia

Baška [email protected]

Baška [email protected]

Aby sme ukázali, že trojuholníky $MY\check S$ a $SYR$ sú podobné, potrebujeme najprv ukázať, že majú rovnaké vnútorné uhly. Očakávame, že $|\sphericalangle YRS|=|\sphericalangle Y\check SM|$, $|\sphericalangle RSY|=|\sphericalangle \check SMY|$ a $|\sphericalangle SYR|=|\sphericalangle MY\check S|$.

****

Na začiatok si spojme $Y$ a $F$, ktoré tvoria jedinú spoločnú tetivu oboch kružníc, ktorá je zároveň kolmá na spojnicu stredov kružníc $RS$. To vieme pretože stred opísanej kružnice leží na osiach strán, zároveň oba stredy musia ležať na osi $YF$, teda ich spojnica leží na osi $YF$. Ich priesečník si označíme ako bod $X$. Skúsme sa teraz pozrieť na trojuholník $FY\check S$ a ukázať z neho $|\sphericalangle YRS|=|\sphericalangle Y\check SM|$.

Spojíme si všetky vrcholy trojuholníka $\check SFY$ so stredom kružnice $R$.

****

Trojuholníky $Y\check SR$, $\check SFR$, $FYR$ sú všetky rovnoramenné, teda aj ich uhly pri základni budú rovnaké. Z trojuholníka $YRX$ vyplýva $$\begin{align} 90^\circ + \textcolor[RGB]{0, 255, 255}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} &= 180^\circ,\ \textcolor[RGB]{0, 255, 255}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} &= 90^\circ,\ \textcolor[RGB]{0, 255, 255}{\sphericalangle} &= 90^\circ - \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle}.\end{align}$$ Z trojuholníka $\check SFY$ vieme, že $$2\textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + 2\textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle} + 2\textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} = 180^\circ,$$ čo môžeme vykrátiť dvomi a dostaneme $$\begin{align} \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} &= 90^\circ,\ \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle} &= 90^\circ - \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle}.\end{align}$$ Spojením s predchádzajúcou rovnicou dostaneme $$\begin{align} \textcolor[RGB]{0, 255, 255}{\sphericalangle} &= 90^\circ - \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} = \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle},\ \textcolor[RGB]{0, 255, 255}{\sphericalangle} &= \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle}.\end{align}$$ Ukázali sme teda, že platí rovnosť $|\sphericalangle YRS|=|\sphericalangle Y\check SM|$.

To, že uhol, pod ktorým sa na tetivu pozeráme zo stredu je dvojnásobkom toho, pod ktorým sa na ňu pozeráme z nejakého bodu na kružnici, je však celkom silná a často používaná vlastnosť. Ide o takzvaný stredový a obvodový uhol. Skúsme sa teda na to pozrieť z tohto uhla. Môžeme si všimnúť, že $\sphericalangle Y\check SF$ je obvodový ku $\sphericalangle YRF$, a teda platí rovnosť $|\sphericalangle YRF|=2|\sphericalangle Y\check SF|$.

Zároveň vieme, že $RX$ je os $\sphericalangle YRF$, keďže trojuholník $RFY$ je rovnoramenný ($|RY|=|RF|$, keďže sú to polomery). Potom ale vieme, že $RS$ nám delí $\sphericalangle YRF$ na polovicu, a teda platí rovnosť $|\sphericalangle YRF|=2|\sphericalangle YRX|$.

Ak spojím tieto dve rovnosti dohromady, dostávam $2|\sphericalangle YRX|=2|\sphericalangle Y\check SF|$, čo viem upraviť na $|\sphericalangle Y\check SF|=|\sphericalangle YRX|$, čo je ekvivalentné s rovnosťou $|\sphericalangle YRS|=|\sphericalangle Y\check SM|$.

Analogicky, i keď trochu inak sa pokúsime ukázať rovnosť $|\sphericalangle RSY|=|\sphericalangle \check SMY|$.

Znovu si spojíme všetky vrcholy trojuholníka $FMY$ so stredom kružnice $S$.

****

Trojuholníky $YMS$, $YFS$, $FMS$ sú všetky rovnoramenné, teda aj ich uhly pri základni budú rovnaké. Z trojuholníka $YXS$ vyplýva $$\begin{align} 90^\circ + \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{0, 255, 255}{\sphericalangle} &= 180^\circ,\ \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{0, 255, 255}{\sphericalangle} &= 90^\circ,\ \textcolor[RGB]{0, 255, 255}{\sphericalangle} &= 90^\circ - \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle}. \end{align}$$ Z trojuholníka $\check YFM$ vieme, že $$\begin{align} (\textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle}) + (\textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle}) + (\textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle}) &= 180^\circ,\ 2\textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + 2\textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} - 2\textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle} &= 90^\circ, \end{align}$$ čo môžeme vykrátiť dvomi a dostaneme $$\begin{align} \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle} &= 90^\circ,\ \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle} &= 90^\circ - \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle}.\end{align}$$ Spojením s predchádzajúcou rovnicou dostaneme $$\begin{align} \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle} &= 90^\circ - \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} = \textcolor[RGB]{0, 255, 255}{\sphericalangle},\ \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{000, 000, 255}{\sphericalangle} &= \textcolor[RGB]{0, 255, 255}{\sphericalangle}.\end{align}$$ Ukázali sme teda, že platí rovnosť $|\sphericalangle RSY|=|\sphericalangle \check SMY|$.

Alebo sme si všimli, že $\sphericalangle FMY$ je obvodový ku stredovému $\sphericalangle FSY$ a analogicky vyvodili rovnosť $|\sphericalangle YSX|=|\sphericalangle YMF|$, ktorá je ekvivalentná s rovnosťou $|\sphericalangle RSY|=|\sphericalangle \check SMY|$.

Ukázali sme rovnosť dvoch vnútorných uhlov trojuholníkov $MY\check S$ a $SYR$. Z vety $uu$ o podobnosti trojuholníkov vyplýva, že trojuholníky $MY\check S$ a $SYR$ sú podobné.

Avšak podobnosť trojuholníkov $MY\check S$ a $SYR$ sme nemuseli dokazovať práve cez rovnosti $|\sphericalangle YRS|=|\sphericalangle Y\check SM|$, $|\sphericalangle RSY|=|\sphericalangle \check SMY|$ – jednu z nich sme mohli nahradiť rovnosťou $|\sphericalangle SYR|=|\sphericalangle MY\check S|$. Skúsme sa teraz na ňu pozrieť.

****

Môžeme si všimnúť, že $\sphericalangle \check SFY$ je obvodový ku stredovému $\sphericalangle \check SRY$, a teda platí rovnosť $|\sphericalangle \check SRY|=2|\sphericalangle \check SFY|$. Rovnako aj $\sphericalangle YFM$ je obvodový ku $360^\circ - \sphericalangle YSM$, a teda platí rovnosť $360^\circ -|\sphericalangle YSM|=2|\sphericalangle YFM|$.

Vieme, že $$\begin{align} \textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + \textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} &= 180^\circ,\ 2\textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle} + 2\textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} &= 360^\circ,\ 2\textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle} &= 360^\circ - 2\textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle},\ |\sphericalangle YSM| &= 360^\circ - 2\textcolor[RGB]{255, 000, 000}{\sphericalangle},\ |\sphericalangle YSM| &= 2\textcolor[RGB]{000, 255, 000}{\sphericalangle}.\end{align}$$ Keďže sú oba trojuholníky $YSM$ a $YR\check S$ rovnoramenné s rovnakým uhlom oproti základni, tak budú mať rovnaké uhly aj pri základni, takže $|\sphericalangle \check SYR|=|\sphericalangle MYS|$, z čoho vyplýva $|\sphericalangle SYR|=|\sphericalangle RYM|+|\sphericalangle MYS|=|\sphericalangle \check SYR|+|\sphericalangle RYM|=|\sphericalangle MY\check S|$.

Teraz sa ostáva ešte zamyslieť ako by vyzeralo riešenie, ak by sme si bod $F$ umiestnili niekde inde. Ak by sa $F$ posunulo bližšie k $\check S$, tak by sa mohlo stať, že by $R$ ležalo mimo trojuholníka $\check SMY$ a $S$ vo vnútri alebo pod $M\check S$. Ešte vieme $F$ posunúť bližšie ku $M$, v takom prípade by $S$ ležalo mimo trojuholníka $\check SMY$ a $R$ pod $M\check S$. V takomto prípade by postup riešenia vyzeral analogicky ku našej konfigurácií (resp. by sme vymenili metódy postupu pre jednotlivé uhly, keďže uhly sa nám preklopia na doplnok do $180^\circ$ resp. $360^\circ$). Ak by sme $F$ umiestnili do päty výšky na stranu $\check SM$, tak by body $R$, $S$ postupe ležali na stranách $\check SY$, $MY$ a $RS$ by bolo rovnobežné s $\check SM$. Jednalo by sa teda o triviálny prípad. Ešte na konfiguráciu môže mať vplyv pôvodný trojuholník $MY \check S$, avšak aj tu budeme postupovať analogicky, keďže sa nám len preklopia niektoré uhly.