Opravovatelia

Kubo P. [email protected]

Mišo M. [email protected]

Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli www.youtube.com/KorMatSem.

Úloha sama o sebe vyzerá pomerne zákerne. Máme nejakú funkciu $f$, do ktorej vieme dosádzať prirodzené čísla, a chceme určiť, čo dostaneme po dosadení $2022$. K dispozícii máme len jeden vzťah, ktorý navyše platí len pre špeciálne hodnoty. Na zistenie $f(2022)$ nám tak nezostáva nič iné, ako nájsť vhodné prirodzené číslo $x$, aby sme mohli využiť, že $f(2022) + f(x) = n^2$.

Tu prichádza otázka, čo ďalej? Previedli sme fakt, že nepoznáme hodnotu $f(2022)$ na fakt, že nepoznáme $f(x)$. Vieme nájsť nejaké ďalšie prirodzené číslo, zopakovať postup pre $x$ a dostaneme novú neznámu hodnotu. Aby sme sa dostali k nejakým výsledkom, chceme ideálne nájsť číslo (alebo čísla), pre ktoré vieme určiť hodnotu funkcie. Po chvíli uvažovania si všimneme, že ak $a = b = 2^{n-1}$, vzťah pre funkčné hodnoty bude $$2 \cdot f\left(2^{n-1}\right) = n^2.$$ Odtiaľ už vieme určiť, že $f\left(2^{n-1}\right) = \frac{1}{2}n^2$. Skúsme sa teda dopracovať od $2022$ k nejakej mocnine dvoch.

Budeme postupovať nasledovne: pre nejaké $x$, ktoré nie je mocninou $2$ nájdeme nejaké $y < x$ tak, aby $x + y$ bola mocnina $2$. A zopakujeme s číslom $y$. Toto vieme spraviť vždy. Keďže nám to však stačí pre pár čísel, dokazovať to nebudeme, proste to vyskúšame. Tento postup nás dostane k postupne menším a menším kladným celým číslam, takže ak sa nepritrafí po ceste nejaká mocnina $2$, dostaneme sa až k číslu $1$. To môžeme tiež považovať za mocninu $2$ ($1 = 2^0$), navyše $1 + 1 = 2^1$, takže sa k hodnote $f(1)$ dopočítame.

Prejdime však k činom. Postup vyššie nám dáva:

• $2022 + 26 = 2^{11}$,

• $26 + 6 = 2^5$,

• $6 + 2 = 2^3$,

• $2 = 2^1$.

Vieme teda dopočítať, že $f(2) = \frac{1}{2} 2^2 = 2$. Potom pekne od konca dostaneme

• $f(6) = 3^2 - f(2) = 9 - 2 = 7$,

• $f(26) = 5^2 - f(6) = 25 - 7 = 18$,

• $f(2022) = 11^2 - f(26) = 121 - 18 = 103.$

Odpoveď: $f(2022) = 103$.