Opravovatelia

Michal Staník [email protected]

Jozef Rajník [email protected]

Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli www.youtube.com/KorMatSem.

Aby sa nám ľahšie pracovalo, zavedieme si v našej štvorčekovej sieti súradnicový systém tak, že mrežové body sú práve body s celočíselnými súradnicami.

Súradnice vrcholov $n$-uholníka môžeme označiť ako $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$. Potom druhé mocniny dĺžok jeho strán, ktoré v úlohe skúmame, sú $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$, $(x_3-x_2)^2 + (y_3-y_2)^2$ a tak ďalej. Môžeme si všimnúť, že každá dĺžka strany na druhú je súčtom dvoch štvorcov (druhých mocnín celých čísel).

Tí z vás, ktorí už majú nejaké skúsenosti s počítaním so zvyškami, asi vedia, že druhé mocniny čísel dávajú po delení štyrmi iba zvyšky $0$ a $1$. Je to tak kvôli tomu, že zvyšok druhej mocniny závisí len od zvyšku samotného čísla. Keď si umocníme všetky možné zvyšky od $0$ do $3$, tak dostaneme ako výsledky iba zvyšky $0$ a $1$. Ak neveríte, môžete si zobrať ľubovoľné číslo, vydeliť ho štyrmi so zvyškom a počítať. Vyjde vám jedna z týchto možností: $$\begin{align} (4k)^2 &= 16k^2 = 4(4k^2) + 0, \ (4k+1)^2 &= 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1, \ (4k+2)^2 &= 16k^2 + 16k + 4 = 4(4k^2 + 4k + 1) + 0, \ (4k+3)^2 &= 16k^2 + 24k + 9 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1.\end{align}$$

Keď jeden štvorec môže mať zvyšok po delení štyrmi $0$ alebo $1$, súčet dvoch štvorcov môže mať zrejme zvyšok iba $0$, $1$ alebo $2$. Ak súčty dvoch druhých mocnín (druhé mocniny dĺžok strán) tvoria postupnosť po sebe idúcich čísel a sú aspoň štyri, táto postupnosť nutne bude obsahovať aj číslo so zvyškom $3$ po delení $4$. Takéto číslo ale nevieme vyjadriť ako súčet dvoch druhých mocnín, čo je spor. To znamená, že pre $n \geq 4$ (a teda aj špeciálne pre $n=2022$) vhodná studňa neexistuje.

Ostáva nám prípad $n = 3$. Stále platí, že našou postupnosťou nechceme trafiť číslo so zvyškom $3$ po delení $4$, takže štvorce dĺžok strán musia mať postupne zvyšky $0$, $1$ a $2$, čiže byť tvaru $4k$, $4k+1$ a $4k+2$ pre nejaké nezáporné číslo $k$. Ak všetky tri druhé mocniny dĺžok strán sčítame, musí platiť: $$\begin{align} ((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2) + ((x_3-x_2)^2 + (y_3-y_2)^2) + ((x_3-x_1)^2 + (y_3-y_1)^2) &= 4k + (4k + 1) + (4k + 2), \ 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3 + 2y_1^2 + 2y_2^2 + 2y_3^2 - 2y_1y_2 - 2y_1y_3 - 2y_2y_3 &= 12k + 3.\end{align}$$

Keď sme výrazy roznásobili, na ľavej strane vznikli členy tvaru $-2x_ix_j$ a $-2y_iy_j$. Okrem toho nám vznikli druhé mocniny súradníc ($2x_i^2$ a $2y_i^2$) – každá súradnica na druhú práve dvakrát. Ľavá strana je tak párna, ale na pravej máme $12k+3$, čo je nepárne. Párne číslo sa nemôže rovnať nepárnemu, a teda aj v tomto prípade má inzerent smolu a vyhovujúca studňa neexistuje.