Opravovatelia

Lukáš [email protected]

V zadaní máme kružnicu vpísanú a pripísanú trojuholníku $ABC$, ako aj osi uhlov tohto trojuholníka, na ktorých stredy spomínaných kružníc ležia. Vyzerá to tak, že budú pomerne dôležité v riešení, poďme si ich teda označiť – stred kružnice vpísanej trojuholníku $ABC$ označme ako $I$ a stred kružnice pripísanej k strane $BC$ trojuholníka $ABC$ označme ako $E_a$.

Všimnime si, že naše body nám tvoria dve skupinky, a to

1. body týkajúce sa kružnice vpísanej – $A, B, C, I, D, E, X, Y$,

2. body týkajúce sa kružnice pripísanej – $A, B, C, E_a, F, G, Z, W$,

pričom tieto dve skupinky nemajú medzi sebou až tak veľa prepojení. Skúsme teda skúmať tieto skupinky oddelene – obrázky budú prehľadnejšie a ľahšie budeme vidieť, čo sa nám v nich deje.

Body súvisiace s vpísanou kružnicou

Keďže kružnica vpísaná $ABC$ sa dotýka strany $AB$ v bode $D$, musí byť $DI$ kolmé na $AB$. To ale znamená, že si bod $D$ vieme predefinovať tak, že ide o pätu kolmice z bodu $I$ na stranu $AB$. Analogicky vieme $E$ predefinovať ako pätu kolmice z $I$ na $AC$. To ale pre nás znamená, že vpísanú kružnicu môžeme úplne zahodiť, čím si opäť sprehľadníme obrázok.

****

Keďže $|\sphericalangle ADI|=|\sphericalangle AEI|=90^\circ$, je štvoruholník $ADIE$ tetivový. Potom ale z obvodových uhlov nad tetivami $DI$ a $EI$ a faktu, že $I$ leží na osi uhla $\sphericalangle BAC$ máme, že $|\sphericalangle IED|=|\sphericalangle IAD|=|\sphericalangle IAE|=|\sphericalangle IDE|$. Ďalej si všimnime, že zo súčtu uhlov trojuholníka $ABC$ vieme dostať $2\textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}+2\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}+2\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}=180^\circ\iff\textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}+\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}+\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}=90^\circ$.

Pozrime sa ďalej na trojuholník $BDX$. Aby sa jeho uhly nasčítali na $180^\circ$, musí platiť $$|\sphericalangle BXD| = 180^\circ - |\sphericalangle BDX| - |\sphericalangle DBX| = 180^\circ - (90^\circ + \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}) - \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle} = 90^\circ - \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle} = \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}.$$

To ale znamená, že $|\sphericalangle EXI|=\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}=|\sphericalangle ECI|$, a teda z obvodových uhlov nad tetivou $EI$ máme, že $EICX$ je tetivový. Potom ale $|\sphericalangle BXC| = |\sphericalangle IXC|=|\sphericalangle IEC|=90^\circ$, a teda $X$ leží na Tálesovej kružnici nad priemerom $BC$.

To, že aj $Y$ leží na Tálesovej kružnici nad $BC$, ukážeme obdobne. Pozrime sa na trojuholník $CEY$. Aby sa jeho uhly nasčítali na $180^\circ$, musí platiť $$|\sphericalangle CYE| = 180^\circ - |\sphericalangle CEY| - |\sphericalangle ECY| = 180^\circ - (90^\circ + \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}) - \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle} = 90^\circ - \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle} = \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}.$$

To ale znamená, že $|\sphericalangle DYI|=180^\circ-\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}=180^\circ-|\sphericalangle DBI|$, a teda z obvodových uhlov nad tetivou $DI$ máme, že $BDYI$ je tetivový. Potom ale $|\sphericalangle BYC| = |\sphericalangle BYI|=|\sphericalangle BDI|=90^\circ$, a teda aj $Y$ leží na Tálesovej kružnici nad priemerom $BC$.

No, a tým padli už skoro všetky podstatné myšlienky riešenia. Síce sme sa ešte nepozreli na body pripísanej kružnice, no vpísaná a pripísaná kružnica majú veľmi podobné vlastnosti. Môžeme sa teda domnievať, že ak sa pokúsime zduplikovať vyššie uvedený postup aj pre body pripísanej kružnice, podarí sa nám úlohu doriešiť. Poďme sa o to pokúsiť.

Body súvisiace s pripísanou kružnicou

Keďže kružnica pripísaná k strane $BC$ sa dotýka priamky $AB$ v bode $F$, musí byť $FE_a$ kolmé na $AB$. To ale znamená, že si bod $F$ vieme predefinovať tak, že ide o pätu kolmice z bodu $E_a$ na stranu $AB$. Analogicky vieme $G$ predefinovať ako pätu kolmice z $E_a$ na $AC$. To ale pre nás znamená, že pripísanú kružnicu môžeme úplne zahodiť, čím si opäť sprehľadníme obrázok.

****

Keďže $|\sphericalangle AFE_a|=|\sphericalangle AGE_a|=90^\circ$, je štvoruholník $AFE_aG$ tetivový. Potom ale z obvodových uhlov nad tetivami $FE_a$ a $GE_a$ a faktu, že $E_a$ leží na osi uhla $\sphericalangle BAC$ máme, že $|\sphericalangle E_aGF|=|\sphericalangle E_aAF|=|\sphericalangle E_aAG|=|\sphericalangle E_aFG|$. Ďalej si všimnime, že zo súčtu uhlov trojuholníka $ABC$ vieme dostať $2\textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}+(180^\circ-2\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle})+(180^\circ-2\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle)}=180^\circ\iff\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}+\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}-\textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}=90^\circ$.

Pozrime sa ďalej na trojuholník $BFZ$. Aby sa jeho uhly nasčítali na $180^\circ$, musí platiť $$|\sphericalangle BZF| = 180^\circ - |\sphericalangle BFZ| - |\sphericalangle FBZ| = 180^\circ - (90^\circ - \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}) - \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle} = 90^\circ + \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle} = \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}.$$

To ale znamená, že $|\sphericalangle GZE_a|=\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}=|\sphericalangle GCE_a|$, a teda z obvodových uhlov nad tetivou $E_aG$ máme, že $CGE_aZ$ je tetivový. Potom ale $|\sphericalangle BZC| = 180^\circ-|\sphericalangle E_aZC|=180^\circ-|\sphericalangle E_aGC|=90^\circ$, a teda $Z$ leží na Tálesovej kružnici nad priemerom $BC$.

To, že aj $W$ leží na Tálesovej kružnici nad $BC$, ukážeme obdobne. Pozrime sa na trojuholník $CGW$. Aby sa jeho uhly nasčítali na $180^\circ$, musí platiť $$|\sphericalangle CWG| = 180^\circ - |\sphericalangle CGW| - |\sphericalangle GCW| = 180^\circ - (90^\circ - \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle}) - \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle} = 90^\circ + \textcolor[RGB]{74, 111, 216}{\sphericalangle} - \textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle} = \textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}.$$

To ale znamená, že $|\sphericalangle FWE_a|=180^\circ-\textcolor[RGB]{227, 159, 60}{\sphericalangle}=180^\circ-|\sphericalangle FBE_a|$, a teda z obvodových uhlov nad tetivou $FE_a$ máme, že $BFE_aW$ je tetivový. Potom ale $|\sphericalangle BWC| = 180^\circ-|\sphericalangle BWE_a|=180^\circ-|\sphericalangle BFE_a|=90^\circ$, a teda aj $W$ leží na Tálesovej kružnici nad priemerom $BC$.

Máme teda, že $W,X,Y,Z$ ležia všetky na Tálesovej kružnici nad priemerom $BC$, čo sme chceli dokázať.

Čo ak by obrázok vyzeral inak?

Ak ste si porovnávali pasáže s bodmi vpísanej a pripísanej kružnice, asi ste si všimli, že sú skoro rovnaké, až na pár detailov – niekde sa namiesto $\alpha$ dostalo $180^\circ-\alpha$. To bolo spôsobené tým, že bod $I$ bol medzi $B$ a $X$, kdežto vzhľadom na $E_a$ sú $B$ a $Z$ na rovnakej „strane“ priamky. Môžete si preto premyslieť, že ak by bod $X$ ležal vnútri úsečky $DE$ (resp. bod $Y$ mimo nej), tiež by sa nám takto mierne pozmenil dôkaz, no fungoval by stále – totiž, bod $X$ by síce prešiel na druhú stranu bodu $E$, a teda by $|\sphericalangle EXI|=180^\circ-\textcolor[RGB]{129, 143, 61}{\sphericalangle}$, avšak prejde aj na druhú stranu tetivy $EI$, kvôli čomu sa prevráti cez $180^\circ$ aj obvodový uhol.