Opravovatelia

Maťka [email protected]

Najskôr si skúsime upraviť prvú rovnicu zo zadania. Rýchlo si všimneme, že vieme využiť známy vzorec $(a+b)^2$. $$\begin{align} o^2+b^2+j^2 &= 2bj+1, \ o^2+b^2-2bj+j^2 &= 1, \ o^2 + (b-j)^2 &= 1. \end{align}$$ Vieme, že čísla umocnené na párnu mocninu sú vždy nezáporné, a preto jediná možnosť ako získať súčet $1$ z dvoch celých nezáporných čísel je, ak jedno z nich je $1$ a druhé $0$.

To nám dáva niekoľko možností, ktoré postupne budeme dosadzovať do druhej rovnice zo zadania.

• $o^2=1$ a $(b-j)^2=0$. To znamená, že $o=\pm 1$ a $b-j=0$, t.j. $b=j$.

• $o=1$ a $b=j$. Dosadením do druhej rovnice zo zadania dostaneme $$\begin{align} 2o+b+j &= 2024, \ 2\cdot1 + j + j &= 2024, \ 2j &= 2022, \ j&=1011, \ b&=1011. \end{align}$$ Jedno riešenie bude teda $o=1$, $j=1011$ a $b=1011$.

• $o=-1$ a $b=j$. Dosadíme do druhej rovnice zo zadania a dostávame $$\begin{align} 2o+b+j &= 2024, \ 2\cdot(-1) +j +j &= 2024, \ 2j &= 2026, \ j&=1013, \ b&=1013. \end{align}$$ Ďalšie riešenie bude teda $o=-1$, $j=1013$ a $b=1013$.

• $o^2=0$ a $(b-j)^2=1$ To znamená, že $o=0$ a $b-j=\pm 1$. Druhú rovnicu si upravíme odčítaním $2j$ a pozrieme sa na paritu rovnice po dosadení známych hodnôt. $$\begin{align} 2o+b+j &= 2024, \ 2\cdot0 + b - j &= 2024-2j,\ b - j &= 2024-2j,\ \pm 1 &= 2(1012-j).\end{align}$$ Vidíme, že ľavá strana rovnice má nepárnu hodnotu, zatiaľčo tá pravá má párnu hodnotu, a preto pre tento prípad neexistuje žiadne riešenie.

Táto úloha má $2$ riešenia: $o=1$, $j=1011$, $b=1011$ a $o=-1$, $j=1013$, $b=1013$.