Opravovatelia

Vašino [email protected]

Skúsme sa na začiatok zamyslieť a „tipnúť“ si riešenie. Keďže hľadaný trojuholník je ostrouhlý, všetky jeho uhly budú ostré. Zároveň priemerný uhol má $60^\circ$. Povedzme, že jeden z uhlov by mal $60^\circ$, potom by z ostatných dvoch bol jeden väčší ako $60^\circ$ a druhý menší ako $60^\circ$. Zároveň však musia byť oba menšie ako $90^\circ$. Teda ten väčší má hodnotu niečo medzí $60^\circ$ a $90^\circ$. Zoberme si teda ich priemer, čo je $75^\circ$. Uhly v tomto trojuholníku sú teda $45^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$. Z tohto vieme vyvodiť, že ak $b=15$, tak taký trojuholník existuje.

Keďže hľadaný trojuholník je ostrouhlý, tak sú všetky jeho uhly ostré. Rovnako vieme, že najväčší uhol sa musí od líšiť aspoň o $b$ od pravého uhla, teda môže byť najviac $90^\circ-b$. Rovnako sa druhý najväčší musí od prvého najväčšieho líšiť aspoň o $b$, čiže bude najviac $90^\circ-2b$. Analogicky tretí bude najviac $90^\circ-3b$. Súčet všetkých uhlov potom bude najviac $90^\circ-b + 90^\circ-2b + 90^\circ-3b = 270^\circ-6b$. Máme teda, že $180^\circ\leq 270^\circ-6b$. Po úprave dostávame $6b\leq90^\circ$ a následne $b\leq 15^\circ$, teda $b$ vie byť najviac $15^\circ$.