Opravovatelia

Mati [email protected]

Vzorové riešenie si požičalo postup od Mariána Kovaľa.

Namiesto postupnosti, ktorú nám ponúka zadanie, uvážme $2$ postupnosti $$\begin{align} a_{n+1}&=a_n+2\cdot b_n,\ b_{n+1}&=b_n-2\cdot a_n\end{align}$$ s počiatočnými členmi $a_0=2$ a $b_0=1$. Všimnime si, že členy týchto postupnosti sú celé čísla a spĺňajú, že ich podiely tvoria pôvodnú postupnosť. Skutočne, $x_0=2=a_0/b_0$ a $$x_{n+1}=\frac{2+ x_n}{1-2x_n}=\frac{2+\frac{a_n}{b_n}}{1-2\cdot \frac{a_n}{b_n}}=\frac{a_n+2b_n}{b_n-2a_n}=\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}.$$ Takže na to, aby sme v pôvodnej postupnosti niekedy dostali číslo $x_k=1/2$, potrebujeme, aby pre nejaké $k \in \mathbb{N}$ platilo, že $2a_k=b_k$. Keďže ide o celé čísla, minimálne potrebujeme, aby $b_k$ bolo párne. Všimnime si, že $b_0=1$ je nepárne. Ďalej však od neho iba odrátavame $2a_n$, čo je párne číslo, a teda parita sa zachová. Pôvodná postupnosť teda nikde nedosiahne hodnotu $1/2$.

Aby sme ukázali, že sa ani $0$ v pôvodnej postupnosti nevyskytne, stačí ukázať, že $a_k$ nikdy nebude nula. Pozrime sa na zvyšky, ktoré dávajú členy postupnosti po delení piatimi. Keďže $a_0=2$ a $b_0=1$, tak by mohlo byť zaujímavé, ako sa menia zvyšky, ak platí $$\begin{align} a_n &\equiv 2 \pmod{5},\ b_n &\equiv 1 \pmod{5}.\end{align}$$ Potom dostávame $$\begin{align} a_{n+1} &\equiv a_n+2 b_n \equiv 2+2 \equiv 4 \pmod{5},\ b_{n+1} &\equiv b_n-2 a_n \equiv 1-4 \equiv 2 \pmod{5}.\end{align}$$ Ďalej, $$\begin{align} a_{n+2} &\equiv a_{n+1}+2 b_{n+1} \equiv 4+4 \equiv 3 \pmod{5},\ b_{n+2} &\equiv b_{n+1}-2 a_{n+1} \equiv 2-8 \equiv 4 \pmod{5}.\end{align}$$ Nevzdávame to a odhodlane počítame $$\begin{align} a_{n+3} &\equiv a_{n+2}+2 b_{n+2} \equiv 3+8 \equiv 1 \pmod{5},\ b_{n+3} &\equiv b_{n+2}-2 a_{n+2} \equiv 4-6 \equiv 3 \pmod{5} .\end{align}$$ Nakoniec, $$\begin{align} a_{n+4} &\equiv a_{n+3}+2 b_{n+3} \equiv 1+6 \equiv 2 \pmod{5},\ b_{n+4} &\equiv b_{n+3}-2 a_{n+3} \equiv 3-2 \equiv 1 \pmod{5}.\end{align}$$ Už sme spomínali, že $a_0=2$ a $b_0=1$. Z výpočtu uvedeného vyššie a indukcie je jasné, že hodnota $a_k$ nikdy nebude deliteľná piatimi, a teda nemôže byť $0$, čo sme chceli ukázať.