2. Kreslíme Mŕtvole Siluetu $\left(\kappa \le 0\right)$
Zadanie
„Vážení, prosím, odstúpte. Detektív Holmes potrebuje na svoju prácu priestor.“
„Watson, to nebude nutné. Podľa stôp je zjavné, že tadiaľto išiel niekto s kladivom. To je potenciálna vražedná zbraň. Všimli ste si to logaritmické pravítko v tých kríčkoch za nami? Tak človek s ním a človek s kladivom tu boli tesne po sebe, i keď neviem, v akom poradí. Som tiež presvedčený, že tie stopy, ktoré sem išli z dediny, tiež pribudli tesne pred logaritmickým pravítkom alebo tesne po ňom. Niekto z týchto ľudí má alibi, lebo zjavne bol v čase vraždy v dedine.“
„A čo napríklad mačeta, Sherlock, to by mohla byť vražedná zbraň.“
„To rozhodne. Tú sem niekto doniesol tesne pred hentou varechou alebo tesne po nej.“
Kým sa Sherlock vybral rozprávať s podozrivými, Watson obkresľoval mŕtvolu, lebo tak sa to skrátka robí.
V hradnej záhrade tvaru obdĺžnika $ABCD$ vyznačil body $M_1$, $M_2$, $M_3$ a $M_4$ tak, že $M_1$ je stred strany $CD$, $M_2$ je stred $AM_1$, $M_3$ je stred $BM_2$ a $M_4$ je stred $CM_3$. Určte, akú časť obdĺžnika $ABCD$ tvorí štvoruholník $M_1M_2M_3M_4$.
Opravovatelia
Vašino [email protected]
****
Označme $a$ dĺžku strany $AB$ a $b$ dĺžku strany $BC$. Namiesto počítania s nepravidelným štvoruholníkom $M_1M_2M_3M_4$ spočítame obsah všetkého ostatného a výsledok odčítame od obsahu obdĺžnika. To nám o niečo zjednoduší prácu, keďže sa nám stačí obmedziť na trojuholníky $DAM_1,\, ABM_2,\, BCM_3$ a $CM_1M_4$.
Trojuholník $DAM_1$ je pravouhlý s odvesnami $\frac{1}{2}a$ a $b$, takže jeho obsah je $\frac{ab}{4}$. S ostatnými trojuholníkmi to bude horšie, ale aspoň majú základne na stranách obdĺžnika.
Kľúčová je teraz pozícia bodu $M_2$. Ten je vzdialený $\frac{1}{2}b$ od úsečky $CD$ a $\frac{1}{4}a$ od úsečky $DA$. To si vieme ľahko overiť tak, že do trojuholníka $DAM_1$ doplníme stredné priečky. Tie sú rovnobežné so stranami trojuholníka a navyše majú polovičnú dĺžku oproti rovnobežnej strane. Úsečka vychádzajúca z $M_2$ rovnobežná s $DM_1$ tak bude mať dĺžku $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} a = \frac{1}{4} a$. Podobne vyrátame aj druhú stranu.
Potom však poznáme aj výšku trojuholníka $ABM_2$. Keďže $M_2$ je presne v polovici vzdialenosti medzi $AB$ a $CD$, jeho vzdialenosť od $AB$ je $\frac{1}{2}b$. Obsah trojuholníka $ABM_2$ tak bude $\frac{ab}{4}$.
****
Podobnú myšlienku vieme využiť aj pri bode $M_3$. Treba si len dať pozor, aby sme naozaj počítali s pravouhlým trojuholníkom. Takže potrebujeme použiť výšku trojuholníka $ABM_2$. Vzdialenosť $M_3$ od výšky bude $\frac{1}{2}$ zo vzdialenosti výšky od bodu $B$. Tá je $a - \frac{1}{4}a = \frac{3}{4}a$. Vzdialenosť $M_3$ od výšky (a teda aj od strany $BC$) teda bude $\frac{3}{8}a$. Vzdialenosť $M_3$ od $AB$ bude $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}b = \frac{1}{4}b$. Každopádne na výpočet obsahu $BCM_3$ nám stačí prvá hodnota. Obsah tohoto trojuholníka je $\frac{3}{16}ab$, keďže jeho základňa má dĺžku $b$.
Výpočet ešte raz zopakujeme pre $M_4$. Ten je od $CD$ vzdialený polovicu toho, čo $M_3$. Ten je vzdialený $\frac{1}{4}b$ od $AB$, takže $\frac{3}{4}b$ od $CD$. Výška trojuholníka $CM_1M_4$ tak bude $\frac{3}{8}b$, jeho základňa je $\frac{1}{2}a$, takže obsah má $\frac{3}{32}ab$.
Teraz nám stačí odčítať všetky trojuholníky od obsahu obdĺžnika. Dostaneme $$ab - \frac{ab}{4} - \frac{ab}{4} - \frac{3ab}{16} - \frac{3ab}{32} = \frac{7}{32}ab.$$ Štvoruholník $M_1M_2M_3M_4$ teda tvorí $\frac{7}{32}$ obdĺžnika $ABCD$.
