Opravovatelia

Maťka [email protected]

Jeden z možných postupov riešenia tejto úlohy bol pomocou matematickej indukcie. Najskôr sa zameriame na nezáporné hodnoty $n$. Za $n$ si dosadíme najmenšie možné číslo, v tomto prípade $0$ a overíme, či je výraz celým číslom. $$\begin{align} \frac{0^5}{5} + \frac{0^3}{3} + \frac{7\cdot 0}{15} = 0.\end{align}$$ Keďže tvrdenie platí pre $n=0$, môžeme sa presunúť k indukčnému kroku. Predpokladajme, že pre nejaké nezáporné celé číslo $k$ platí, že výraz $$\begin{align} \frac{k^5}{5} + \frac{k^3}{3} + \frac{7k}{15}\end{align}$$ je celým číslom. Teraz si dosaďme $n = k+1$. Dostaneme tak $$\begin{align} \frac{(k+1)^5}{5} + \frac{(k+1)^3}{3} + \frac{7(k+1)}{15}.\end{align}$$ Výraz si môžeme ďalej upraviť použitím binomickej vety na $$\begin{align} \frac{k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1}{5} + \frac{k^3 + 3k^2 + 3k + 1}{3} + \frac{7k+7}{15}.\end{align}$$ Zlomky upravíme, aby mali spoločný menovateľ a sčítame ich $$\begin{align} &\frac{3k^5 + 15k^4 + 30k^3 + 30k^2 + 15k + 3}{15} + \frac{5k^3 + 15k^2 + 15k + 5}{15} + \frac{7k+7}{15}=\ =\ &\frac{3k^5 + 5k^3 + 7k +15(k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1)}{15}=\ =\ &\frac{3k^5 + 5k^3 + 7k}{15} + \frac{15(k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1)}{15}.\end{align}$$ Po vykrátení druhého zlomku získame $$\begin{align} &\frac{3k^5 + 5k^3 + 7k}{15} + k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1=\ =\ &\frac{k^5}{5} + \frac{k^3}{3} + \frac{7k}{15} + k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1.\end{align}$$ Môžeme si všimnúť, že výraz sa teraz skladá z troch zlomkov, o ktorých sme od začiatku predpokladali, že ich súčet je celé číslo a niekoľko ďalších celých čísel. Celý výraz teda musí byť celým číslom, ak $n$ je nezáporné celé číslo.

Keď sa pozrieme na záporné hodnoty čísla $n$, môžeme si všimnúť, že výraz bude taktiež celé číslo, keďže všetky exponenty sú nepárne, a teda výraz nám dá rovnakú hodnotu ako pri kladnom $n$, akurát s opačným znamienkom.

Pomocou matematickej indukcie sme dokázali, že výraz zo zadania má pre všetky celé čísla $n$ celočíselnú hodnotu.