Opravovatelia

Danko [email protected]

Ak chceme dokázať, že rovnosť nebude platiť pre žiadne $n$ a $m$, dobrým nápadom je nájsť nejakú slabšiu podmienku, o ktorej to dokážeme jednoduchšie. Napríklad aby sa výrazy rovnali, musia mať aj rovnaký zvyšok po delení číslom $3$, čo budeme zapisovať pomocou kongruencií¹. Číslo $3$ napríklad preto, že je rozumne malé a zároveň vieme, že jediný člen na ľavej strane, ktorý nie je deliteľný tromi, je $+7$. Teda aby rovnosť platila, musí platiť: $$0+0+7\equiv 1\equiv m^3\pmod{3}.$$ Číslo $m$ môže mať rôzne zvyšky po delení $3$, buď bude násobkom $3$, alebo bude o $1$ menej², alebo viac. Vypočítajme si, ako tieto čísla budú vyzerať umocnené na tretiu. A keďže nás zaujíma iba zvyšok po delení tromi, môžeme všetky členy deliteľné $3$ odstrániť. $$\begin{align} (3k)^3&=27k\equiv 0,\pmod{3}\ (3k+1)^3&=27k^3+27k^2+9k+1\equiv 1,\pmod{3}\ (3k-1)^3&=27k^3-27k^2+9k-1\equiv -1 \equiv 2.\pmod{3}\end{align}$$ Vidíme teda, že jediná možnosť pre $m$ je taká, kde $m\equiv 1\pmod{3}$. My však potrebujeme ukázať, že ani tak rovnosť nikdy nedostaneme. Skúsime preto nájsť problém v inom zvyšku. To, čo sme doteraz zistili, ale nie je zbytočné, využijeme práve to, že pravá strana bude mať tvar $(3k+1)^3$. Ako vidíme vyššie, po roznásobení sú všetky členy okrem $+1$ deliteľné deviatimi. Vieme teda, že pravá aj ľavá strana by musela mať zvyšok $1$ po delení $9$. Preskúmajme teda ľavú stranu a trochu si ju upravme, aby sme zistili, či to tak môže byť. $$\begin{align} 3n^2+3n+7=3(n^2+n)+7&\equiv 1,\pmod{9}\ 3(n^2+n)\equiv 1-7\equiv -6&\equiv 3,\pmod{9}\ n^2+n&\equiv 1.\pmod{3}\end{align}$$ Po odčítaní 7 sme celú kongruenciu predelili tromi vrátane modula, pretože aj modulo bolo deliteľné 3. Pri výraze $n^2+n$ si ľahko overíme, že jeho zvyšky postupne pre $n\equiv 0, 1, 2$ budú $0+0=0$; $1+1=2$; $4+2=6\equiv 0\pmod{3}$. Vidíme teda, že posledná kongruencia nikdy platiť nebude, a teda obe strany našej pôvodnej rovnosti nikdy nebudú mať rovnaký zvyšok po delení $9$. Tým pádom sa nemôžu nikdy rovnať, čo bolo treba dokázať.